Анализ цепей синусоидального тока Метод законов Кирхгофа Векторные диаграммы Резонанс в электрических цепях Топологические методы расчета Расчет сложных трехфазных цепей Теория нелинейных цепей Уравнения Максвелла

Электротехника. Расчет электрических цепей в задачах курсового расчетах

Уравнения Максвелла в комплексной форме

Если векторы поля   и  изменяются во времени по синусоидальному закону, то синусоидальные функции времени могут быть представлены комплексными числами и, соответственно, сами векторы будут комплексными:

В записанных выражениях черта снизу символа означает «комплекс», а черта сверху – «вектор», соответственно читается «комплекс-вектор».

Учитывая, что операции дифференцирования в комплексной форме соответствует умножение комплексного изображения на множитель , то в уравнениях Максвелла в комплексной форме время, как координата, в явной форме отсутствует.

С учетом принятых обозначений система основных уравнений Максвелла в комплексной форме получит вид:  Постоянный электрический ток Характеристики тока. Сила и плотность тока. Падение потенциала вдоль проводника с током.

Комплексный вектор Пойтинга можно представить по аналогии с комплексной мощностью:

.

Теорема Умова-Пойтинга в комплексной форме (без вывода): 

.

5. Плоская гармоническая волна в диэлектрике

Плоской называется электромагнитная волна с плоским фронтом, у которой векторы поля  и  взаимно перпендикулярны и при соответствующем выборе направления осей координат будут зависеть только от одной пространственной координаты z и времени t. Волна называется гармонической, если векторы поля  и  изменяются во времени по синусоидальному закону. Волна распространяется в однородном диэлектрике (), проводимость которого равна нулю ().

Выберем направления осей координат x, y, z так, чтобы вектор   совпадал с осью x , вектор  совпадал с осью y , тогда вектор Пойтинга будет направлен вдоль оси z (рис. 282):

 

Система уравнений Максвелла в комплексной форме:

Раскроем операцию rot в декартовой системе координат и учтем, что векторы поля содержат только по одной пространственной составляющей: 

  (вектор направлен по оси х),

  (вектор направлен по оси у)

Таким образом, система уравнений Максвелла получит вид: 

 

Решим данную систему дифференциальных уравнений относительно одной из переменных, например, . Для этой цели продифференцируем уравнение (2) по переменной z и выполним в него подстановку из уравнения (1):

,

где   - фазовая скорость волны.

Таким образом получилось дифференциальное уравнение 2-го порядка  с одной переменной :

Решение для искомой функции:

 

где  - корни характеристического уравнения:

В неограниченной однородной среде отраженные волны отсутствуют, поэтому примем С2=0, С1=Сejy, тогда решение для искомой функции получит окончательный вид: 

  где .

Решение для переменной  получим из уравнения (2) путем подстановки в него найденного решения для переменной :

 где  - волновое сопротивление среды; для пустоты   Ом.

Перейдем от комплексного изображения функций к их оригиналам:

Таким образом, электромагнитное поле в диэлектрике распространяется в виде незатухающих взаимно перпендикулярных в пространстве волн  и  со скоростью  (рис. 283).

Отношение мгновенных значений волн  в любой точке пространства и в любой момент времени постоянно и равно волновому сопротивлению .

Длиной волны λ называют расстояние, на котором фаза волны изменяется на 2π: 

  откуда следует, что 

Каждая из волн переносит энергию в направлении своего движения, при этом объемные плотности энергий электрического и магнитного полей равны между собой. 

6. Плоская гармоническая волна в проводящей среде

Пусть плоская гармоническая волна проникает в проводящую среду ) через плоскость, нормальную и направленную движения волны.

Система уравнений Максвелла в комплексной форме будет иметь вид:

Плотностью тока смещения () в уравнении (1) пренебрегаем в связи с ее малостью по сравнению с плотностью тока проводимости .

Выберем направления осей координат так, чтобы вектор  сопадал с осью x (), вектор совпадал с осью y (), тогда вектор Пойтинга  будет направлен по оси z () (рис. 284). При таком выборе направлений осей координат и система уравнений Максвелла получит вид:

 

Решим данную систему дифференциальных  уравнений относительно одной из переменных, например, . Для этой цели продифференцируем уравнение (2) по переменной (z) и сделаем в него подстановку из уравнения (1):

Введем обозначения:

, где .

С учетом принятых обозначений дифференциальное уравнение получит стандартную форму:

.

Решение дифференциального уравнения:

,

где a1= -p = -b – jb, a2 = b+jb - корни характеристического уравнения.

Если среда распространения волны не ограничена, то отраженная волна отсутствует и второе слагаемое из решения можно исключить, тогда решение в комплексной форме получит вид:

Перейдем от комплексного изображения к функции времени:

Решение для волны  в комплексной форме получим из уравнения (2) путем подстановки в него найденного решения для

,

где -комплексное волновое сопротивление среды, которое носит активно-индуктивный характер.

Перейдем от комплексного изображения к функции времени:

Таким образом, электромагнитное поле в проводящей среде распространяется в виде затухающих взаимно перпендикулярных волн  и . Множитель  показывает, что амплитуды волн при своем перемещении затухают по экспоненциальному закону. Глубиной проникновения поля называется расстояние, на котором амплитуды волн затухают в раза, т.е , откуда .

Фазовая скорость определяется из условия, что , откуда следует, что .

Длина волны l равна расстоянию, на котором фаза волны изменяется на 2p, т. е. , откуда . На расстоянии длины волны z =l затухание волны составит  раз.


Методы расчета электрических полей постоянного тока