Анализ цепей синусоидального тока Метод законов Кирхгофа Векторные диаграммы Резонанс в электрических цепях Топологические методы расчета Расчет сложных трехфазных цепей Теория нелинейных цепей Уравнения Максвелла

Электротехника. Расчет электрических цепей в задачах курсового расчетах

Теорема Умова-Пойтинга для электромагнитного поля

Теорема Умова-Пойтинга устанавливает баланс мощностей в произвольном объеме электромагнитного поля. Математическая база теоремы разработана русским математиком Умовым в 1874 году, а в 1884 году английский физик Пойтинг применил идеи Умова к электромагнитному полю.

Выделим в переменном электромагнитном поле некоторый объем V, ограниченный поверхностью S. Внутри выделенного объема могут оказаться частично или полностью источники и приемники электрической энергии в любых сочетаниях. Электромагнитное поле внутри объема описывается системой уравнений Максвелла: Действия с комплексными числами на этих калькуляторах выполняются в алгебраической форме. Однако они позволяют переводить комплекс из алгебраической формы в показательную и наоборот.

  ( 1 )

 ( 2 )

  ( 3 )

Умножим скалярно уравнение (1) на , уравнение (2) на , и вычтем почленно левые и правые части уравнений:

.

Из курса математики известно, что

Преобразуем правые части уравнения. Из закона Ома (3) следует:

;

.

После преобразования получим:

Проинтегрируем все члены полученного уравнения по выделенному объему V: 

Исследуем каждое слагаемое уравнения. По теореме Остроградского-Гаусса:

, где  - вектор Пойгинга [Вт/м], численно равный плотности потока энергии в единицу времени (потока мощности) через единицу поверхности вокруг рассматриваемой точки; 

 - мощность тепловых потерь или потребляемая мощность в заданном объеме, эта мощность всегда положительна;

- мощность источников энергии внутри объема, эта мощность отрицательна, если векторы  и  совпадают, и положительна, если эти векторы не совпадают;

- мощность электромагнитного поля, она положительна, если идет процесс накопления энергии в объеме, и отрицательна, если идет процесс возврата энергии.

Таким образом, после принятых обозначений теорема Умова-Пойтинга получит вид:

.

Формулировка теоремы Умова-Пойтинга: небаланс мощности в заданном объеме V компенсируется потоком вектора Пойтинга, направленным внутрь объема (знак - ) через замкнутую поверхность S, ограничивающую этот объем.

Вектор Пойтинга   направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы поля  и , характеризует величину и направление энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади в направлении вектора.

Теорема Умова-Пойтинга позволяет сделать важный теоретический вывод, что электрическая энергия от генератора к приемнику передается не по проводам линии электропередачи, а электромагнитным полем, окружающим эти провода, а сами провода выполняют две другие функции: 1) создают условия для получения электромагнитного поля, 2) являются направляющими для потока электроэнергии.

3. Поток вектора Пойтинга в коаксиальном кабеле

Устройство коаксиального кабеля показано на рис. 281. К кабелю приложено постоянное напряжение U и протекает постоянный ток I.

Особенностью режима работы коаксиального кабеля является то, что его электрическое и магнитное поле не выходит за пределы наружной оболочки.

Рассмотрим режим точки 1, расположенной в диэлектрике на расстоянии r от оси кабеля. Линейная плотность заряда:.

Напряженность электрического поля: .

Напряженность магнитного поля: .

Векторы поля и  направлены под углом в 90о друг к другу.

Вектор Пойтинга:.

Вектор Пойтинга направлен вдоль оси кабеля по направлению тока I. Поток вектора Пойтинга через поперечное сечение диэлектрика:

.

Вывод: поток вектора Пойтинга через поперечное сечение диэлектрика равен передаваемой мощности Р, т. е. вся энергия от источника к приемнику передается электромагнитным полем, сосредоточенным в диэлектрике между жилой и оболочкой.

Рассмотрим режим точки 2, расположенной на наружной поверхности жилы.

Плотность тока в жиле кабеля: .

Напряженность электрического поля: .

Напряженность магнитного поля: .

Векторы поля и  направлены под углом в 90о друг к другу.

Вектор Пойтинга: .

Вектор Пойтинга направлен по радиусу к центру кабеля.

Поток вектора Пойтинга через боковую поверхность внутренней жилы:

.

Вывод: поток вектора Пойтинга через наружную поверхность жилы направлен внутрь провода и равен мощности тепловых потерь.


Методы расчета электрических полей постоянного тока