Анализ цепей синусоидального тока Метод законов Кирхгофа Векторные диаграммы Резонанс в электрических цепях Топологические методы расчета Расчет сложных трехфазных цепей Теория нелинейных цепей Уравнения Максвелла

Электротехника. Расчет электрических цепей в задачах курсового расчетах

Механические силы в магнитном поле

Пусть существует система из n магнитносвязанных электрических цепей, в которых протекают постоянные токи. Пусть одна из цепей перемещается в направлении оси х на величину dx. При перемещении цепи будет выполнена механическая работа:

,

где  Fx - сила, действующая на цепь в направлении х.

Вследствие перемещения цепи произойдет изменение магнитного поля системы: Метод узловых и контурных уравнений Сущность метода состоит в составлении системы уравнений по первому и второму законам Кирхгофа. Расчёт производим в следующем порядке. По первому закону составляем (n – 1) независимых уравнений, где n – количество узлов в схеме. Выбираем узел А.. По второму закону нам остаётся составить два уравнения, так как число уравнений в системе должно быть равно количеству неизвестных токов, а их три. Направления токов в ветвях выбираются произвольно. Направления обхода контуров принимаем (услов- но) по часовой стрелке. Таким образом, система уравнений в комплексной форме включает в себя одно уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа и два уравнения, составленные по второму закону

  Изменение потокосцепления каждой цепи Ψk вызовет появление напряжения на ее зажимах: , при этом в системе будет выполнена дополнительная электрическая работа: 

В соответствии с законом сохранения энергии составим баланс энергий: ,  или , откуда следует, что

,  или , т. е. составляющая силы, действующей на электрическую цепь в произвольном направлении равна производной от энергии магнитного поля в этом же направлении.

Составляющие силы, действующей на электрическую цепь в направлении осей координат x, y, z:

   .

Результирующая сила:

Результирующая сила направлена в сторону наибольшего возрастания энергии магнитного поля.

Так как по условию токи цепей постоянны, то и энергия собственного магнитного поля, равная  тоже постоянна, а изменяется только взаимная энергия системы Wвз и, следовательно, сила .

Если система состоит только из двух магнитносвязанных цепей, то энергия магнитного поля будет равна:

.

  Тогда получим:

В измерительных приборах электродинамической системы вращающий момент, действующий на подвижную систему прибора, будет равен:

,

т.е. вращающий момент пропорционален скорости изменения взаимной индуктивности М при повороте подвижной системы прибора.

Переменное электромагнитное поле

Основные уравнения Максвелла и их физический смысл

Основы теории электромагнитного поля или электродинамики были впервые изложены в 1873 г. английским ученым Максвеллом в труде «Трактат об электричестве и магнетизме». Математические уравнения, описывающие физические процессы в переменном электромагнитном поле, называются уравнениями Максвелла. Наиболее важные из них первые четыре, которые называются основными:

  ( 1 )

 ( 2 )

  ( 3 )

 ( 4 )

  ( 5 )

 ( 6 )

  ( 7 )

 ( 8 )

Рассмотрим более детально каждое из уравнений Максвелла и вытекающие из них следствия.

Физический смысл 1-го основного уравнения: переменное магнитное поле () возбуждается как токами проводимости (), так и токами смещения (). Максвелл назвал плотностью тока смещения изменение во времени вектора электрического смещения :

 

Ток проводимости () и ток смещения () эквиваленты в отношении создания магнитного поля, но представляют собой различные физические явления. Если ток проводимости соответствует движению свободных зарядов, то ток смещения может существовать в пустоте, где заряды отсутствуют вообще.

Так как , то 

Таким образом, плотность тока смещения в диэлектрике складывается из плотности тока смещения в пустоте () и члена (), учитывающего поляризацию диэлектрика (перемещение связанных зарядов).

1-е уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную форму обобщенного закона полного тока. Для доказательства этого положения проинтегрируем обе части уравнения по некоторой неподвижной поверхности S, опирающейся на контур  l:

Левая часть уравнения преобразуется по теореме Стокса: , а в правой части равенства получим: ,  следовательно:

 -  закон полного тока в интегральной форме.

Для стационарного поля и , тогда первое уравнение Максвелла превращается в уравнения магнитного поля постоянного тока: 

.

Из последнего равенства вытекают уравнения 2-го закона Кирхгофа для магнитной цепи:

.

Возьмем  операцию div от левой и правой части основного уравнения (1):

Из математики известно, что div rot = 0 тождественно, тогда получим:

  - уравнение непрерывности линий вектора плотности тока , которое гласит, что линии вектора  непрерывны, концами линий плотности тока проводимости  являются начала линий плотности тока смещения  и наоборот.

Проинтегрируем обе части последнего уравнения по некоторому замкнутому объему V. В левой части по теореме Остроградского получим:

 ,

а в правой части:

,

следовательно:  – закон сохранения заряда в интегральной форме.

Полученное уравнение показывает, что в переменном электромагнитном поле токи и заряды связаны и не могут задаваться независимо друг от друга.

Физический смысл 2-го основного уравнения: переменное электрическое поле () возбуждается не только зарядами q, но и изменением во времени магнитного поля ().

2-е уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную форму закона электромагнитной индукции. Для доказательства этого положения проинтегрируем обе части уравнения по некоторой неподвижной поверхности S, опирающейся на контур l:

.

Левая часть уравнения преобразуется по теореме Стокса: , а в правой части равенства получим:   следовательно:

В электрических машинах переменного тока (генераторах, двигателях, трансформаторах) магнитное поле изменяется во времени по синусоидальному закону  В обмотках машин это поле наводит синусоидальную ЭДС:

.

Действующее значение этой ЭДС равно:

   - уравнение трансформаторной ЭДС.

Для стационарного поля , и 2-е уравнение Максвелла превращается в уравнения электростатического поля: 

Из совместного анализа 1-го и 2-го уравнений Максвелла следует вывод, переменное электрическое и переменное магнитное поля должны рассматриваться как два связанных проявления единого электромагнитного процесса. Каждое из этих полей и их изменения во времени и пространстве являются одновременно и причиной и следствием друг друга. Совокупность этих двух полей называется электромагнитным полем.

3-е уравнение Максвелла устанавливает истоки линий магнитного поля. Оно гласит, что линии вектора магнитной индукции  непрерывны, т.е. замкнуты сами на себя. Проинтегрируем это уравнение по некоторому объему V, ограниченному поверхностью S:

 

есть 1-й закон Кирхгофа для магнитной цепи.

4-е уравнение Максвелла  устанавливает истоки линий электрического поля. Оно гласит, что линии вектора электростатической индукции  имеют разрыв, они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. Проинтегрируем это уравнение по некоторому объему V, ограниченному поверхностью S:

  или  

есть уравнение теоремы Гаусса в интегральной форме.


Методы расчета электрических полей постоянного тока