Анализ цепей синусоидального тока Метод законов Кирхгофа Векторные диаграммы Резонанс в электрических цепях Топологические методы расчета Расчет сложных трехфазных цепей Теория нелинейных цепей Уравнения Максвелла

Электротехника. Расчет электрических цепей в задачах курсового расчетах

Скалярный потенциал магнитного поля

Ранее для электростатического поля вне зарядов (r = 0) была получена система уравнений :

  Для магнитного поля вне токов (d = 0) система уравнений имеет вид:

 Сравнение этих систем уравнений показывает, что они имеют одинаковую структуру и, следовательно, к их решению применим принцип двойственности. Это значит, что к расчету магнитного поля в областях вне токов могут быть применены методы, заимствованные из электростатики. Введем по аналогии понятие скалярного магнитного потенциала jм(x,y,z) из условия : Характеристики и параметры цепей переменного тока в комплексной форме.

Применение понятия скалярного потенциала jм(x,y,z) в ряде случаев значительно упрощает решение задач по расчету магнитного поля вне токов. Следует иметь в виду, что для электрического поля напряжение  не зависит от выбора пути интегрирования, в то же время магнитное напряжение  зависит от выбора этого пути.

4. Магнитное поле цилиндрического проводника с током

Пусть по бесконечно длинному цилиндрическому проводу радиуса R протекает постоянный ток I . Выберем систему координат x, y, z так, чтобы ось провода совпадала с осью координат z (рис. 276).

Будем считать, что ток равномерно распределяется по сечению провода, тогда его плотность будет равна

 Для исследования магнитного поля выделим две неравнозначные области, для каждой из которых выполним расчет параметров магнитного поля:

 1) область внутри провода при 0 £ r £ R ,

  2) область вне провода при R £ r £ ¥ .

Для расчета поля во внутренней области выберем контур интегрирования в виде окружности с текущим радиусом r<R . Тогда ток внутри контура интегрирования:

  , откуда 

 Применим к контуру интегрирования закон полного тока в интегральной форме :

,

откуда следует  и .

Векторы  и  направлены по касательной к окружности, их направление определяется по правилу правоходового винта.

 При увеличении радиуса на элементарную величину dr произойдет приращение магнитного потока на величину dф на единицу длины провода (l = 1) и приращение магнитного потокосцепления на величину dy :

  Внутренний магнитный поток и внутреннее потокосцепление найдутся в результате интегрирования полученных выше выражений по всему сечению провода:

,

.

  Из последнего уравнения следует формула для внутренней индуктивности провода на единицу длины :

  [Гн/м]

 

 Внутренняя индуктивность провода зависит от его магнитной проницаемости m (для стальных проводов она значительно больше, чем для медных или алюминиевых) и не зависит от его радиуса.

 Для расчета поля во внешней области выберем контур интегрирования в виде окружности с текущим радиусом r>R . Ток внутри контура интегрирования равен I и не зависит от текущего значения радиуса r. Из закона полного тока следует:

  , откуда  и 

 Приращения магнитного потока dф и потокосцепления dy будут равны:

  Внешний магнитный поток Фвнеш и соответственно внешнее потокосцепление Yвнеш найдутся в результате интегрирования полученных выше выражений по сечению вне провода:

,

  где R’ < ¥ - внешний радиус в окружающем провод пространстве, где производится расчет параметров поля.

 Внешняя индуктивность провода на единицу длины :

  [Гн/м]

 

5. Магнитное поле двухпроводной линии

По двухпроводной линии с заданными геометрическими размерами (рис. 277) (R – радиус проводов, d - расстояние между осями проводов) протекает постоянный ток I.

 Результирующий вектор магнитной индукции  в произвольной точке n можно определить по методу наложения как геометрическую сумму составляющих этого вектора   и  от каждого провода в отдельности: =+. Составляющие вектора  и  определяются по полученным ранее формулам, а их направления – по правилу правоходового винта:

 Результирующую индуктивность линии на единицу длины можно найти как сумму индуктивностей прямого и обратного провода:

L = L1 + L2 = 2Lвнут + 2L внеш = .

При определении внешней индуктивности провода, внешний радиус интегрирования R следует принять равным расстоянию между проводами d.

Если провода линии выполнены из неферромагнитного материала (Сu, Al) то m=1 и формула для индуктивности линии получит вид:

 [ Гн / м ]

В схемах замещения трехфазных линий электропередачи учитывается индуктивность одного провода (фазы), следовательно:

  [ Гн / м ] – индуктивность каждого провода (фазы) трехфазной транспонированной ЛЭП на единицу длины, где  – среднегеометрическое значение межосевых расстояний проводов.

 

6. Взаимная индуктивность двух параллельных линий

Пусть задано геометрическое расположение проводов в пространстве двух параллельных двухпроводных линий (1 и 1¢ - прямой и обратный провода первой линии, 2 и 2¢ - прямой и обратный провода второй линии) (рис. 278).

Предположим, что по 1-й линии протекает постоянный ток I. Магнитный поток от провода 1, пересекающий плоскость второй линии, определится по формуле:

Магнитный поток от провода 1', пересекающий плоскость второй линии:

Как следует из рисунка, магнитные потоки Ф1 и Ф1¢ в плоскости второй линии направлены одинаково, т.е. складываются. Результирующий магнитный поток взаимной индукции будет равен:

Взаимная индуктивность двух линий на единицу длины будет равна:

При использовании данного уравнения для расчетов следует учитывать, что индексы при  расстояниях d зависят, во-первых, от обозначения проводов на чертеже, и во-вторых, от взаимной ориентации магнитных потоков Ф1 и Ф’1, и в каждом конкретном случае должны устанавливаться индивидуально.

7. Магнитное поле сложной системы проводов с током

В большинстве реальных случаев электрические токи, создающие магнитное поле, протекают по тонким каналам – электрическим проводам. Для создания сильных магнитных полей, используемых в технике, применяются системы проводов, образующие катушки индуктивности.

Расчет магнитного поля в произвольной точке пространства n , создаваемого идеальным (бесконечно тонким) проводником с током I
(рис. 279), может быть выполнен на основе известного из курса физики закона Био-Совара-Лапласа:

где  dl – векторный элемент длины проводника; r – расстояние от элемента dl до рассматриваемой точки n;

 – единичный радиус-вектор, направленный по радиусу r.

Результирующий вектор напряженности магнитного поля , создаваемый длинным проводом l или системой проводов, может быть найден путем интегрирования приведенного уравнения Био-Совара-Лапласа по всей длине провода или системы проводов.

В качестве примера рассмотрим расчет магнитного поля цилиндрической катушки длиной h, с внутренним диаметром D1 и наружным диаметром D2, содержащую w витков, расположенных в несколько слоев (рис. 280).

 

 

 

Принимаем допущения, что 1)электрический ток протекает строго по оси провода, и 2)отдельные витки имеют кольцевую форму. Такие допущения не вносят существенных погрешностей в результат расчета магнитного поля вне провода, но позволяют упростить процедуру итегрирования уравнения Био–Совара-Лапласа. Результирующий вектор напряженности магнитного поля  в произвольной точке n может быть найден как геометрическая сумма составляющих этого вектора от всех витков w, расположенных по длине катушки от –h/2 до +h/2 и по толщине катушки от D1 до D2 :

  .

Магнитное поле катушки будет обладать центральной и осевой симметрией, поэтому исследование поля проводится только в одной из четвертей плоскости сечения (в области положительных значений координат x и y).

Анализ характера изменения магнитного поля в пространстве показывает, что магнитное поле имеет наибольшую интенсивность внутри катушки, и что оно убывает во всех направлениях по мере удаления от витков катушки.


Методы расчета электрических полей постоянного тока