Анализ цепей синусоидального тока Метод законов Кирхгофа Векторные диаграммы Резонанс в электрических цепях Топологические методы расчета Расчет сложных трехфазных цепей Теория нелинейных цепей Уравнения Максвелла

Электротехника. Расчет электрических цепей в задачах курсового расчетах

Методы расчета электрических полей постоянного тока

Электрическое поле постоянного тока, с одной стороны, и электростатическое поле вне электрических зарядов (rсв=0), с другой стороны, описываются одинаковыми по структуре математическими уравнениями. Для сравнения сведем эти уравнения в общую таблицу.

Электрическое поле постоянного тока

Электростатическое поле при отсутствии зарядов (rсв=0)

Работа синхронной машины в режиме синхронного двигателя В отличие от синхронного генератора в синхронном двигателе ось полюсов ротора отстает от оси полюсов вращающегося магнитного поля статора на угол   и электромагнитный момент определяется по уравнению. Уравнения электрического баланса аналогичны режиму генератора. Поэтому генератор и двигатель характеризуются общими закономерностями.

Как следует из приведенной таблицы оба поля описываются одинаковыми по структуре уравнениями и к ним применим принцип двойственности. Таким образом для расчета электрических полей постоянного тока можно применять те же расчетные методы, которые были получены ранее для электростатических полей, при условии соответствующих замен в расчетных формулах физических величин и коэффициентов: . С другой стороны, для экспериментального исследования сложных по конфигурации электростатических полей применяется их физическое моделирование с помощью электрических полей постоянного тока.

В электростатике очень важное значение имеет теоретическое понятие точечного заряда q. По аналогии введем понятие точечного тока i, который растекается в проводящей среде из одной точки, при этом в этой точке плотность тока .

Рассмотрим несколько примеров расчета электрических полей постоянного тока.

Пример 1. Заземлитель шаровой формы с радиусом R находится на большой глубине h (h>>R). К заземлителю подведено напряжение U (рис. 270).

Заменим суммарный ток, стекающий с поверхности заземлителя точечным током i, который растекается из центра заземлителя. Применим расчетные формулы из теории электростатического поля точечного заряда, заменив:

, откуда , если принять , то постоянная интегрирования С=0.

Потенциал на поверхности заземлителя при r = R:

 ,

откуда получаем формулы для сопротивления заземлителя и его тока:

.

Пример 2. Заземлитель в виде шара расположен на сравнительно небольшой глубине h, соизмеримой с его радиусом R (рис. 271).

 

Применим к решению задачи метод зеркальных отображений. Заменим в верхней полуплоскости диэлектрик  проводящей средой γ и зеркально расположим там такой же заземлитель той же полярности, при этом граничные условия на поверхности земли не изменятся (линии вектора Е направлены по касательной вдоль поверхности). Заменим токи, стекающие с поверхностей обоих заземлителей, равными по величине точечными токами, растекающимися из электрических центров 1 и 2, которые будут смещены относительно геометрических центров так, чтобы сохранились прежними граничные условия на поверхности шаров (поверхности должны остаться эквипотенциальными с потенциалом φ=U). После определения положения электрических центров расчет параметров поля в произвольной точке n производится по методу наложения:

.

При соотношении h>>R потенциал на поверхности заземлителя будет равен:

, откуда следует формула для определения сопротивления заземлителя:

.

Пример 3. Определить шаговое напряжение  на заданном расстоянии х от центра опоры высоковольтной ЛЭП при коротком замыкании одной из фаз линии на опору (рис. 272).

Для упрощения расчетов будем считать, что заземлитель опоры имеет форму полушария с радиусом R. Заменим диэлектрик в верхней части пространства проводящей средой γ, а заземлитель дополним зеркальным отображением до полного шара. После таких преобразований решение задачи сводится к расчету поля шарового заземлителя п.1.:

,

где  - фазное напряжение ЛЭП, R – радиус заземлителя опоры.

Пример 4. Требуется рассчитать электрическое поле вертикального цилиндрического заземлителя диаметром D и длиной h. К заземлителю подведено напряжение U (рис. 273).

Заменим диэлектрик в верхней части пространства проводящей средой γ, а заземлитель дополним его зеркальным отображением. Будем считать, что электрический ток стекает с оси заземлителя, где  - линейная плотность тока стекания [А/м]. Вид функции  должен удовлетворять граничным условиям, а именно, поверхность заземлителя должна быть эквипотенциальной с потенциалом φ=U. Расчеты показывают, что линейная плотность тока τ по концам заземлителя значительно больше, чем в его середине. Тогда di=tdl -  элемент тока.

Параметры поля получаются в результате интегрирования соответствующих уравнений по всей длине заземлителя:

.

Расчеты полей сложной конфигурации выполняются как правило на ЭВМ методом численного интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений.

T3. Магнитное поле постоянных токов

 

1. Уравнения магнитного поля в интегральной и дифференциальной формах

 

Магнитное поле характеризуется двумя векторными величинами:

– вектор напряженности магнитного поля, создается электрическими токами, является первопричиной магнитного поля [А/м];

  – вектор индукции магнитного поля или плотность магнитных силовых линий [Тл].

Между векторами  и  существует связь:

,

  где m0 = 4×p×10-7 » 1,257× 10-6 [Гн/м] - магнитная проницаемость пустоты, m - относительная магнитная проницаемость.

Известный из курса физики закон Био-Савара-Лапласа устанавливает связь между элементарным вектором магнитной индукции  в произвольной точке пространства и элементом тока (рис. 274):













На основе закона Био-Савара-Лапласа выполняется расчет магнитного поля сложных систем проводников с токами.

Закон Ампера определяет силу взаимодействия магнитного поля на элемент проводника с током: 

 ,

откуда следует, что сила, действующая на проводник , равна 

.

На прямолинейный проводник с током I в равномерном магнитном поле действует сила , направление которой определяется по правилу левой руки.

1 –й закон Кирхгофа для магнитной цепи, выражающий непрерывность магнитных силовых линий поля, имеет вид:- интегральная форма уравнения непре-

 рывности  магнитных линий.

Преобразуем это уравнение по теореме Остроградского-Гаусса:

  Закон полного тока для магнитного поля имеет вид:

- интегральная форма закона полного тока. Преобразуем левую часть этого уравнения по теореме Стокса: , а в правой части получим: . Следовательно:

  дифференциальная форма закона полного тока.

Граничные условия в магнитном поле на границе раздела двух сред с различными магнитными проницаемостями m1 и m2 выражаются уравнениями:

 

На границе раздела двух сред равны нормальные составляющие вектора В и тангенциальные составляющие вектора Н.

 Магнитное поле несет в себе энергию, плотность которой определяется уравнением:

   [ Дж/м3]

 

2. Векторный потенциал магнитного поля

 

 Пусть требуется рассчитать магнитное поле в однородной среде (m=const) , в которой протекает электрический ток, плотность которого задана в виде некоторой функции координат . Для определения векторов поля  и  необходимо решить систему уравнений:

  (1)

 (2)

  (3)

 Введем новую векторную величину , позволяющую исключить из системы уравнений неизвестные  и   и получить одно дифференциальное уравнение, решение которого известно в математике.

  Пусть вектор , получивший название вектора потенциала магнитного поля, удовлетворяет условию:  

 Так как divrot любого вектора тождественно равна нулю, то уравнение (1) выполняется тождественно:

 Из уравнения (2) следует:

 Из курса математики известно, что .

 В полученном уравнении можно принять , не нарушая равенства . Тогда получим :

  - уравнение Пуассона для векторного потенциала магнитного поля для областей среды, где протекают токи проводимости. Для областей среды, где токи проводимости отсутствуют, уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа . Каждое из этих векторных уравнений в декартовой системе координат распадается на три скалярных в направлении координатных осей:

  

  

  

 Решения уравнений Пуассона для векторного потенциала  имеют вид (без вывода):

  

  Если решение для векторного потенциала  найдено, то другие неизвестные величины выражаются через векторный потенциал:

Если токи протекают по линейным проводникам, поперечные размеры которых весьма малы по сравнению с их длиной, то то выражение для векторного потенциала   можно упростить следующим образом:

 

 где - ток в проводнике

 В последнем уравнении интегрирование по объему заменяется интегрированием по контурам линейных проводов, что упрощает его решение.


Методы расчета электрических полей постоянного тока