Анализ цепей синусоидального тока Метод законов Кирхгофа Векторные диаграммы Резонанс в электрических цепях Топологические методы расчета Расчет сложных трехфазных цепей Теория нелинейных цепей Уравнения Максвелла

Электротехника. Расчет электрических цепей в задачах курсового расчетах

Электростатическое поле осевых зарядов

Ниже будет рассмотрено несколько примеров электростатических полей, создаваемых осевыми зарядами.

Поле уединенной равномерно заряженной оси (рис. 257а).

Pасчет параметров поля в произвольной точке n выполним с помощью теоремы Гаусса в интегральной форме. Окружим ось цилиндром с произвольным радиусом r и длиной образующей l =1. Вектор электрического смещения  в силу симметрии во всех точках на боковой поверхности цилиндра (r=const) имеет одно и то же значение и направление по радиусу, т.е. нормально к этой поверхности.

Расчет падающих волн в линии с распределенными параметрами при подключении ее к источнику ЭДС Пусть линия с волновым сопротивлением в момент t = 0 подключается к источнику ЭДС или с нулевыми или с ненулевыми внутренними параметрами .

По теореме Гаусса получим:

 .

Откуда следует, что .

Поток вектора  через торцевые поверхности цилиндра равен нулю, так как линии вектора здесь направлены по касательной к поверхности.

В цилиндрической системе координат потенциал поля  будет зависеть только от радиуса r: , откуда

.

Если принять на некоторой поверхности радиуса  значение потенциала равным нулю, то   и значение потенциала на поверхности произвольного радиуса будет равна:

.

2). Поле коаксиального кабеля (рис. 257б).

Конструктивно коаксиальный кабель состоит из внутреннего провода радиуса r1 (прямой провод) и наружного провода в виде трубы или металлического чехла радиуса r2 (обратный провод), разделенных между собой диэлектриком с относительной проницаемостью e.

Реальные заряды в коаксиальном кабеле расположены равномерно по поверхности внутреннего провода (жиле) и на внутренней поверхности внешней оболочки. В соответствии со вторым следствием из теоремы единственности заменим поверхностные заряды внутреннего провода осевым зарядом с линейной плотностью t, после чего к расчету параметров поля можно применить положения и выводы, полученные ранее для заряженной оси:

.

Напряжение между внутренней жилой и оболочкой:

.

Емкость кабеля на единицу длины:

, откуда следует, что .

Наибольшее значение напряженности поля имеет место на поверхности внутреннего провода при  :

.

3). Поле двух разноименно заряженных параллельных осей (рис. 258). Две двух разноименно заряженные оси  расположены параллельно на расстоянии 2а в диэлектрическом пространстве.

Параметры поля в произвольной точке пространства n могут быть определены по методу наложения. Результирующий вектор напряженности поля равен геометрической сумме составляющих, а результирующий потенциал – алгебраической сумме составляющих от каждого провода:

.

Если принять  в точках равноудалённых от обеих осей (), то постоянная интегрирования будет равна нулю (С=0), тогда получим:

.

Эквипотенциальные поверхности  должны удовлетворять условию . В геометрии есть малоизвестная теорема Аполония, которая гласит, что геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до заданной пары точек постоянно, является окружность, центр которой лежит на линии, соединяющей заданную пару точек. Эта окружность должна удовлетворять следующему условию: 

  или .

Анализ геометрии рис. 2 показывает, что треугольник 20n подобен треугольнику n01 (общий угол с вершиной 0 и прилежащие к углу стороны пропорциональны). Из подобия треугольников следует:

 .

При перемещении точки n вдоль окружности изменяются расстояния   и  так, что их отношение остается постоянным . При изменении отношения   центр окружности перемещается вдоль линии, соединяющую заданную пару точек 1 и 2. При k>1,  и центр окружности находиться в левой полуобласти, при k<1,  и центр окружности находится в правой полуобласти, a при k=1, , центр окружности смещается в бесконечность, а сама  окружность превращается в прямую линию, совпадающую с вертикальной осью симметрии.

Линии вектора напряженности поля  также является дугами окружности, но с центрами, расположенными на вертикальной оси симметрии.

Графической диаграммой или сеткой поля называется совокупность следов эквипотенциальных поверхностей с заданными значениями потенциалов, построенная совместно с совокупностью следов линии вектора напряженности поля . Графическая диаграмма поля двух разноименно заряженных осей имеет вид рис. 259.

По графической диаграмме поля можно определить его параметры (,) в любой точке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Электростатическое поле и емкость двухпроводной линии

Пусть требуется рассчитать электростатическое поле и емкость двухпроводной линии с заданными геометрическими размерами (радиус проводов R, межосевое расстояние d, радиус R соизмерим с расстоянием d). Провода линии не заземлены, к линии приложено постоянное напряжение U (рис. 260).

Согласно второму следствию из теоремы единственности заменим поверхностные заряды проводов осевыми +t и -t, проводящую среду - диэлектриком так, чтобы на поверхности проводов сохранились прежние условия, а именно: эти поверхности должны остаться эквипотенциальными с теми же значениями потенциалов = +j и = -j. Чтобы выполнить эти условия, электрические оси проводов должны быть смещены относительно геометрических осей на некоторое расстояние s- a.

Согласно второму следствию из теоремы единственности заменим поверхностные заряды проводов осевыми +t и -t, проводящую среду - диэлектриком так, чтобы на поверхности проводов сохранились прежние условия, а именно: эти поверхности должны остаться эквипотенциальными с теми же значениями потенциалов = +j и = -j. Чтобы выполнить эти условия, электрические оси проводов должны быть смещены относительно геометрических осей на некоторое расстояние s- a.

Положение электрических осей определяется из теоремы Аполония:

Таким образом, электростатическое поле, создаваемое двумя проводами с поверхностными зарядами σ, будет эквивалентным полю, которое создается двумя разноименно заряженными осями +t и -t, и для его расчета можно применить полученные ранее формулы:

Потенциал положительного провода:

.

  В силу симметрии , тогда напряжение:

U =,

где s-a – смещение электрической оси провода относительно геометрической.

Из полученного выражения вытекают расчетные формулы:

.

Для воздушных линий (=1) межосевое расстояние d многократно больше радиуса проводов R. В этом случае смещением электрических осей можно пренебречь (s-a0) и считать, что электрические оси проводов совпадают с геометрическими. Для таких линий полученные выше расчетные формулы будут иметь вид:

.


Методы расчета электрических полей постоянного тока