Анализ цепей синусоидального тока Метод законов Кирхгофа Векторные диаграммы Резонанс в электрических цепях Топологические методы расчета Расчет сложных трехфазных цепей Теория нелинейных цепей Уравнения Максвелла

Электротехника. Расчет электрических цепей в задачах курсового расчетах

Расчет переходного процесса методом кусочно-линейной аппроксимации

Метод основан на аппроксимации характеристики нелинейного элемента отрезками прямой. При такой аппроксимации дифференциальные уравнения цепи на отдельных участках будут линейными и могут быть решены известными методами (классическим или операторным). При переходе от одного участка к другому в дифференциальных уравнениях будут скачком изменяться постоянные коэффициенты, что повлечет скачкообразное изменение коэффициентов в их решении. Решения для отдельных участков сопрягаются между собой на стыках участков на основе законов коммутации.

Рассмотрим применение данного метода к расчету переходного процесса при включении нелинейной катушки к источнику постоянной ЭДС Е (рис. 245а). Нелинейную вебер-амперную характеристику катушки y(i) заменим отрезками прямой линии (ломаной линией 0-1-2-3) (рис. 246):

Аппроксимируем отдельные отрезки ломаной линии уравнениями прямой:

1) для отрезка 0-1 , где ;

2) для отрезка 1-2 , где ;

для отрезка 2-3 , где .

Коэффициенты аппроксимации Y20, Y30 определяются из графической диаграммы, а коэффициенты L1, L2, L3 - через координаты точек стыка отрезков (0,1, 2, 3):

, , .

Дифференциальные уравнения для отдельных участков будут иметь вид:

, где 0, 0,

, где , ,

, где ,

Решения уравнений для отдельных участков, найденные классическим методом, будут отличаться только постоянными коэффициентами:

1),  2) , 3) ,

где 

Постоянные интегрирования находятся из начальных условий и законов коммутации:

при t = 0, i1(0) = 0, из решения (1) следует A1= -Iy,

при t = t1, i2(t1) = I1, из решения (2) следует A2= I1-Iy,

при t = t2, i3(t2) = I2, из решения (3) следует A3= I2-Iy.

Моменты времени t1, t2, соответствующие переходу процесса с одного участка характеристики на другой, определяются из совместного решения уравнений для смежных участков в точке стыка: 

для точки 1:  , откуда следует ,

для точки 2:  , откуда следует .

 

Графическая диаграмма переходного процесса показана на рис. 247. Наличие изломов на графической диаграмме искомой функции i(t) объясняется погрешностями аппроксимации характеристики нелинейного элемента возле точек стыка отдельных участков. Достоинство данного метода состоит в том, что он позволяет применить к расчету переходных процессов в нелинейных цепях известные методы расчета переходных процессов в линейных цепях.

Расчет переходного процесса методом линеаризации дифференциального уравнения

Сущность данного метода заключается в том, что в нелинейном дифференциальном уравнении, описывающем переходной процесс, пренебрегают нелинейностью второстепенных членов этого уравнения, при этом функциональные коэффициенты в этих членах заменяются постоянными. После такой замены нелинейное дифференциальное уравнение превращается в линейное и решается известными методами (классическим или операторным).

Рассмотрим применение данного метода на примере расчета переходного тока в трансформаторе при его включении на холостом ходу к источнику синусоидального напряжения (рис. 245а).

Дифференциальное уравнение цепи имеет вид:

Так как активное сопротивление R обмотки трансформатора незначительно, то   и второе слагаемое iR можно считать второстепенным членом этого уравнения.

Выразим  , где L = f (i,y) – функциональный коэффициент, тогда дифференциальное уравнение цепи получит вид:

.

Заменим функциональный коэффициент L = f(i,y) в последним уравнении некоторым постоянным значением L = L= const, после чего дифференциальное уравнение цепи становится линейным относительно переменной ψ. Решение этого уравнения может быть получено классическим методом:

,

где .

Рис. 248 
 

В момент включения трансформатора y(0)=0 и, следовательно, постоянная интегрирования будет равна  . Таким образом амплитуда свободной составляющей А зависит от начальной фазы напряжения источника. При a - j = 90° она имеет максимальные значения, переходной процесс при этом протекает с максимальной интенсивностью. Пусть a - j = -90°, тогда А = Ψm и решение для функции y(t) получит вид:

.

Графическая диаграмма расчетной функции y(t) показана на рис. 248а.

 

 

 

 

Графическую диаграмму искомой функции i(t) можно построить методом проекции расчетной функции y(t) на вебер-амперную характеристику i(y) (рис. 248а, б). Эта диаграмма представлена на рис. 249:

Как показывает анализ полученного решения, амплитуда первой волны потокосцепления практически равна удвоенному номинальному значению: . Эта точка 1 на вебер-амперной характеристике i(y) находится далеко в области насыщения и ей соответствует ток Imax, значительно превышающий амплитуду тока установившегося режима (), что примерно в 10 раз больше амплитуды номинального тока. Такой импульс пускового тока совершенно не опасен для динамической или термической устойчивости трансформатора, однако он может вызвать ложное срабатывание его релейной защиты. По этой причине мощные силовые трансформаторы запрещается включать в сеть в режиме холостого хода. При включении в сеть нагруженного трансформатора переходной процесс быстро затухает, при этом амплитуда импульса пускового тока незначительна.

 

 

 

 

 

5. Расчет переходного процесса методом численного интегрирования дифференциального уравнения

Режим нелинейной цепи любой сложности может быть описан системой нелинейных дифференциальных уравнений, составленных для схемы цепи по законам Кирхгофа. Как известно из математики, система дифференциальных уравнений (как линейных так и нелинейных) может быть решена методом численного интегрирования (методы Эйлера, Рунге-Кутта). Таким образом, режим любой нелинейной цепи может быть рассчитан методом численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Рассмотрим применение этого метода на примере расчета схемы рис. 250. Пусть на входе схемы источник постоянной ЭДС Em, а веберамперная характеристика нелинейной катушки аппроксимирована уравнением i = a·sh(b·y).

Система дифференциальных уравнений, составленых для схемы цепи по законам Ома и Кирхгофа и дополненная нелинейным алгебраическим уравнением аппроксимации характеристики нелинейного элемента будет иметь вид:

Решение этой системы уравнений может быть выполнено методами численного интегрирования на ЭВМ (например, методом Эйлера). Суть метода состоит в том, что период переменного тока Т разбивается на большое число шагов интегрирования, например N=1000, дифференциалы переменных заменяются конечными приращениями (dyÞDy, duÞDu, diÞDi, dtÞDt), а производные переменных - отношением приращений (dy/dtÞDy/Dt, du/dtÞDu/Dt). На каждом шаге производится решение системы уравнений и определяются значения переменных величин (токов, напряжений) и их производных, причем в качестве исходных данных принимают значения некоторых переменных на предыдущем шаге. В качестве таких функций принимают uС(t), iL(t), которые определяют запасы энергии в электрическом и магнитном поле, вследствие чего они не могут изменяться скачкообразно. Непосредственным результатом расчета будут являться массивы значений переменных величин (токов, напряжений) и их производных в заданном интервале времени (например, в течение времени переходного процесса Тп). В результате последующей обработки массивов данных могут быть определены все параметры функций.

Один из вариантов решения полученной системы уравнений методом численного интегрирования представлен ниже.

Исходные данные: параметры элементов схемы (E, R1, R2, C, a, b); начальные условия uС(0)=0, y(0)=0.

Принимаем: N-число шагов интегрирования, Т – расчетное время переходного процесса, h=Dt=T/N - шаг интегрирования.

Алгоритм решения системы для произвольного к-го шага:

  tк = h·к;

из (5) i2к = a·sh(b·y(к-1));

из (2) i1к = (E -uC(к-1)) /R1;

из (1) i3к = i1к - i2к ;

из (3) (dy/dt) к = uC(к-1) - i2к R2;

из (4) (duС/dt) к = i3к / C;

 yк= y(к-1) + h · (dy/dt) к;

 uСк =uС(к-1) + h · (duС/dt) к .

Метод численного интегрирования (численный метод) обладает высокой точностью, так как в нем непосредственно используются физические характеристики нелинейных элементов. С появлением ЭВМ и расширением области их применения данный метод является основным при расчете нелинейных цепей как в переходном, так и в установившемся режиме.


Методы расчета электрических полей постоянного тока