Анализ цепей синусоидального тока Метод законов Кирхгофа Векторные диаграммы Резонанс в электрических цепях Топологические методы расчета Расчет сложных трехфазных цепей Теория нелинейных цепей Уравнения Максвелла

Электротехника. Расчет электрических цепей в задачах курсового расчетах

Расчет мгновенных значений параметров режима графическим методом

При расчете мгновенных значений напряжений u(t) и токов i(t) в нелинейной цепи используются  физические характеристики нелинейных элементов, а именно: вольтамперная характеристика  u=f(i) или i=f(u) для резистора, веберамперная характеристика i=f(y) или y=f(i) для катушки и кулонвольтная характеристика q=f(u) или u=f(q) для конденсатора.

 В простейших случаях, если задан или может быть рассчитан закон изменения во времени одной из спаренных физических величин, то закон изменения во времени другой величины может быть получен графически методом проекции заданной функции на соответствующую физическую характеристику нелинейного элемента. В качестве примера рассмотрим графический расчет тока нелинейной катушки в режиме синусоидального напряжения (тока холостого хода трансформатора) (рис. 239).

 

Пусть к зажимам катушки приложено напряжение u(t)=Um×sinwt. Магнитный поток в сердечнике связан с напряжением уравнением индукции:

, откуда .

Графические диаграммы функций u(t) и ф(t) показаны на рис. 240. Справа приведена вебер-амперная характеристика ф(i) магнитной цепи в виде петли гистерезиса, соответствующая расчетной амплитуде магнитного потока Фm. Расчетные точки искомой функции i(t) получаются методом проекции точек заданной функции ф(t) на вебер-амперную характеристику ф(i) магнитной цепи.

Для построения графической диаграммы искомой функции i(t) исследуемый интервал времени (период Т) разбивается на отдельные отрезки . Для каждого момента времени t, t, t… определяются на диаграмме координаты точек заданной функции ф, ф, ф,…, которые проектируется на на вебер-амперную характеристику ф(i) магнитной цепи. Найденные соответствующие значения искомой функции i, i, i… в масштабе откладываются на диаграмме для каждого момента времени t, t, t…. Отдельные точки соединяются плавной кривой, в результате чего получается графическая диаграмма искомой функции i(t) (на рис. 240 показана жирной линией). Процедура построения графической диаграммы искомой функции i(t) на рис. 240 показана стрелками для 5 точек (0, 1, 2, 3, 4).

 

Анализ решения показывает, что намагничивающий ток катушки имеет несинусоидальную форму и содержит в своем составе только нечетные гармоники.

9. Расчет мгновенных значений параметров режима гармоническими методами

 В нелинейных цепях переменного тока происходят искажения форм кривых токов и напряжений. Несинусоидальные функции токов i(t) и напряжений u(t), как известно, можно представить в виде гармонических рядов Фурье. В гармонических методах расчета решение для искомых величин находят в виде суммы отдельных гармоник.

  В простейших случаях решение для искомой функции в виде гармонического ряда Фурье удается получить в результате разложения в ряд Фурье найденного в общем виде решения. В качестве примера рассмотрим расчет тока в нелинейной катушке (тока холостого хода трансформатора) (рис. 241). Чтобы получить сравнительно простое решение, применим для катушки параллельную схему замещения (рис. 44). Вебер-амперную характеристику катушки аппроксимируем уравнением степенного полинома: iL(y) = ay + by5.

Пусть к зажимам катушки приложено напряжение u(t)=Um×sin(wt+90o). Магнитное потокосцепление катушки связано с напряжением уравнением индукции:

, откуда .

Ток в резисторе определяется по закону Ома:

.

Ток в катушке найдется в результате подстановки функции y(t) в уравнение аппроксимации:

Ток источника определяется по первому закону Кирхгофа, при этом сложение гармоник токов одинаковой частоты можно выполнять в комплексной форме:

 ,

где  I1m= IL1m+ jIR1m= I1meja1.

Анализ решения показывает, что намагничивающий ток катушки имеет несинусоидальную форму и содержит в своем составе только нечетные гармоники, при этом основная гармоника тока отстает от приложенного напряжения на угол j = yu - yi = 90o - a1.

Решение для искомой функции в виде суммы гармоник можно получить также методом гармонического баланса. Суть этого метода состоит в том, что ожидаемое решение для функции f(t) представляется в виде суммы основной и нескольких высших гармоник:

,

где В1, С1, В2, С2…- неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. Затем амплитуды гармоник всех токов и напряжений выражаются через неизвестные коэффициенты. После этого балансируются коэффициенты для одинаковых гармоник в уравнениях Кирхгофа, составленных для расчетной схемы. В результате получается система алгебраических уравнений с неизвестными коэффициентами искомой функции, в результате решения которой определяются сами коэффициенты.

  В качестве примера рассмотрим расчет режима в схеме рис. 242.

Пусть к выводам схемы приложено синусоидальное напряжение

, а вебер-амперная характеристика нелинейной катушки аппроксимирована уравнением  .

Дифференциальное уравнение цепи будет иметь вид:

.

 

 

В качестве неизвестной функции, подлежащей определению, принимаем потокосцепление y(t),  решение для которой будем искать в виде суммы 1-й и 3-й гармоник (четные гармоники в решении отсутствуют):

,

  где В1, С1, В3, С3 - неизвестные коэффициенты.

Выражаем ток и напряжения на отдельных участках схемы через искомую функцию y(t): 

где амплитуды гармоник состоят в некоторой функциональной зависимости от неизвестных коэффициентов В1, С1, В3, С3.

.

.

Теперь составляется баланс коэффициентов для отдельных гамоник (уравнения гармонического баланса) в соответствии со 2-м законом Кирхгофа u(t) = uR(t) + uL(t):

  ,

 ,

,

  .

В алгебраических уравнениях гармонического баланса отдельные слагаемые в левой части являются некоторыми функциями неизвестных коэффициентов В1, С1, В3, С3. Решение этой системы уравнений представляет зачастую большую математическую трудность.

В виду больших математических осложнений, возникающих при определении неизвестных коэффициентов, метод гармонического баланса оказывается мало эффективным и применяется редко.

10. Преобразователь частоты в 3 раза на нелинейных катушках

 В нелинейных цепях переменного тока происходят искажения форм кривых напряжений и токов u(t) и i(t), в составе которых появляются высшие гармоники. Таким образом, нелинейные элементы выступают в роли преобразователей сигналов основной частоты в сигналы других частот. Если с помощью фильтров выделить из несинусоидальной функции определенную k-ую гармонику, то можно говорить о преобразователе сигнала в k раз.

На схеме рис. 243 представлен преобразователь частоты в 3 раза – утроитель частоты Спинелли. Схема утроителя состоит из трех одинаковых нелинейных катушек (трансформаторов). Первичные обмотки трансформаторов включаются в трехфазную сеть по схеме звезды без нулевого провода, а вторичные обмотки соединяются по схеме открытого треугольника, на выход которого подключается нагрузка. Магнитный режим трансформаторов выбирается так, чтобы получить большие искажения форм кривых токов i(t) и напряжений u(t). Роль фильтра гармоник кратных трем выполняет схема открытого треугольника. Известно, что гармоники, образующие симметричные системы прямой и обратной последовательностей в треугольнике взаимно компенсируется, а гармоники кратные трем складываются арифметически. Следовательно, на выходе открытого треугольника будет иметь место утроенное значение напряжения всех гармоник, кратных трем (3-я, 9-я и т.д.). 

Выполним расчет режима в схеме методом гармонического баланса.

Фазные токи в первичной цепи будут содержать в своем составе только нечетные гармоники, при этом в них будут отсутствовать высшие гармоники, кратные трем:

Такой режим перемагничивания приведет к появлению гармоник, кратных трем, в магнитных потоках стержней и, следовательно, в фазных напряжениях трансформаторов:

Амплитуда основной гармоники в магнитных потоках связана с фазным напряжением сети уравнением трансформаторной ЭДС: Uф = 4,44wfФ1m. Появление высших гармоник, кратных трем, в магнитных потоках и, соответственно, в фазных напряжениях обусловлено нелинейностью вебер-амперных характеристик магнитных цепей. Наличие высших гармоник, кратных трем, в фазных напряжениях не повлияет на форму линейных напряжений, которые равны разности фазных напряжений.

Применяя аппроксимацию вебер-амперной характеристики магнитной цепи уравнением степенного полинома i = aф + bфи решая задачу методом гармонического баланса получим приближенную формулу для коэффициента 3-й гармоники напряжения:

Выходное напряжение утроителя с учетом арифметического сложения в треугольнике гармоник, кратных трем, будет равно: Uвых = 3кГ3Uф @ (0,9-1,3) Uф.


Методы расчета электрических полей постоянного тока