Анализ цепей синусоидального тока Метод законов Кирхгофа Векторные диаграммы Резонанс в электрических цепях Топологические методы расчета Расчет сложных трехфазных цепей Теория нелинейных цепей Уравнения Максвелла

Электротехника. Расчет электрических цепей в задачах курсового расчетах

Графический метод расчета нелинейной цепи с несколькими источниками ЭДС

Графический метод расчета можно применять также и для более сложных схем с несколькими источниками ЭДС. Последовательность графических операций при решении одной и той же задачи может быть различной и зависит от выбора алгоритма решения.

Выделим из схемы цепи ветвь, содержащую источник ЭДС Е и нелинейный элемент с заданной ВАХ U(I) (рис. 205 а).

Из уравнения 2-го закона Кирхгофа следует: .

В той же системе координат U-I построим новую диаграмму ВАХ Uаb(I) путем смещения заданной ВАХ U(I) по оси U на величину (-Е) согласно уравнению 2-го закона Кирхгофа (рис. 206). Можно утверждать, что новая ВАХ Uab(I) соответствует некоторому новому нелинейному элементу НЭЭ, не содержащему ЭДС (рис. 8б). Таким образом, ветвь схемы, содержащую источник ЭДС Е и резистивный (линейный или нелинейный) элемент, можно заменить путем параллельного переноса ВАХ U(I) заданного элемента на величину ЭДС  некоторой новой ветвью без источника ЭДС с ВАХ Uab(I)  (рис. 205б).

 

Если в схеме содержится ветвь с источником тока J, то такая ветвь может быть объединена с резистивной ветвью и заменена некоторой эквивалентной, при этом смещение ВАХ элемента производится по оси I на величину  согласно 1-му закону Кирхгофа для узла.

Пусть требуется выполнить расчет схемы (рис. 10а), в которой нелинейные элементы НЭ1 и НЭ2 заданы своими ВАХ, а линейный резистор - сопротивлением R3 ( рис. 10а).

 

 

Рассмотрим 2 варианта решения данной задачи.

1-ый вариант – метод свертки схемы к одному из источников ЭДС, например Е1. Для этого заменим ветвь 2, содержащую нелинейный элемент НЭ2 и ЭДС Е2, новой эквивалентной ветвью с элементом НЭЭ, но без источника ЭДС. После такой замены сложная схема превращается в простую со смешанным соединением элементов (рис. 207б). Графический метод расчета такой схемы был рассмотрен в предыдущем параграфе.

2-й вариант решения – метод двух узлов. Зададимся положительными направлениями токов во всех ветвях схемы от узла а к узлу b (рис. 207а). Для каждой ветви по 2-му закону Кирхгофа запишем выражения для узлового напряжения:

 (1)

  (2)

 (3)

  (4)

Графическое решение задачи производится в соответствии с полученными уравнениями в следующей последовательности:

1) строится диаграмма ВАХ Uab(I1) путем смещения заданной ВАХ U1(I1) по оси U на величину +Е1 согласно уравнению (1) (рис. 208);

2) cтроится диаграмма ВАХ Uab(I2) путем смещения заданной ВАХ U2(I2) по оси U на величину –Е2 согласно уравнению (2) (рис. 208);

3) диаграмма ВАХ Uab(I3) совпадает с заданной U3(I3) согласно уравнению (3) (рис. 208);

4) производится графическое сложение диаграмм ВАХ отдельных ветвей Uab(I1), Uab(I2), Uab(I3) по оси I согласно уравнению (4), в результате чего получается диаграмма результирующей ВАХ (жирная линия на рис. 208).

 Рабочая точка n удовлетворяет уравнению (4) , что соответствует точке пересечения диаграммы результирующей ВАХ  с осью U. Последовательность дальнейшего графического решения показана на рис. 208 стрелками.

5. Комбинированный графоаналитический метод расчета нелинейной цепи

с одним или двумя нелинейными элементами

Если схема нелинейной цепи содержит только один нелинейный элемент НЭ с заданной ВАХ, то расчет токов и напряжений в такой схеме может быть выполнен комбинированным методом в три этапа.

1-й этап. Выделяется ветвь с нелинейным элементом НЭ, а оставшаяся часть схемы заменяется эквивалентным генератором (рис. 209а). Параметры эквивалентного генератора Еэ и R0 могу быть определены аналитически любым из методов расчета линейных цепей, так как в оставшейся части схемы не содержатся более нелинейные элементы.

 

На 2-м этапе выполняется графический расчет эквивалентной схемы рис. 209а, как правило, методом встречного построения диаграмм. Из уравнения 2-го закона Кирхгофа для схемы рис. 209а, следует, что  . Для графического решения данного уравнения проводится прямая линия по уравнению U = E - IR0 в той же системе координат, где задана диаграмма ВАХ U(I) нелинейного элемента. Положение рабочей точки n соответствует точке пересечения прямой с заданной диаграммой ВАХ U(I). Достоинство данного метода состоит в том, что не требуется графическое сложение диаграмм ВАХ отдельных элементов. В результате графического расчета определяется напряжение U и ток I нелинейного элемента.

На заключительном 3-м этапе нелинейный элемент НЭ в исходной схеме в соответствии с теоремой о компенсации заменяется идеальным источником ЭДС с E=U, направленной навстречу току I. Такая замена позволяет превратить исходную схему из нелинейной в линейную. Расчет схемы после такой замены выполняется одним из методов расчета сложных линейных цепей, в результате чего определяются все токи и напряжения в исходной схеме.

Комбинированный метод расчета может быть применен к сложной схеме с двумя и более нелинейными элементами.

Пусть сложная схема содержит два нелинейных элемента НЭ1 и НЭ2 (рис. 210а).

На 1-м этапе из сложной схемы выделяются одновременно оба нелинейных элемента (рис. 210а). Выполняется режим холостого хода одновременно для обеих ветвей (рис. 310б) и аналитическим путем определяются напряжения холостого хода Uxxab = ja - jb и Uxxcd = jc - jd. В соответствии с теоремой об эквивалентном генераторе линейная часть схемы заменяется эквивалентным генератором (активным четырехполюсником) по схеме рис. 211.

 

 

Внутренния сопротивления генератора (R1, R2, R3) рассчитываются путем свертки линейной части схемы (без источников) к эквивалентной схеме звезды.

На 2-м этапе выполняется графический расчет эквивалентной схемы (рис. 14) одним из графических методов, рассмотренных ранее, в результате графического расчета определяются токи и напряжения нелинейных элементов (U1, U2, I1, I2). На заключительном этапе определяются токи и напряжения на элементах линейной части схемы.

Если исходная схема цепи содержит три или более нелинейных элементов, то к ней так же может быть применен метод эквивалентного генератора, при этом линейная часть схемы заменяется активным шести- и более полюсником, что при большом числе нелинейных элементов не дает положительного эффекта.

6. Аппроксимация ВАХ нелинейных элементов

Вольтамперные характеристики нелинейных элементов на практике чаще всего получают экспериментальным путем и представляют их или в графической форме [в виде графической диаграммы функции ], или в табличной форме [в виде таблицы координат точек функции ]. При аналитических методах расчета нелинейных цепей к ВАХ предъявляются требования, чтобы они были представлены в аналитической форме, т.е. в виде аналитического выражения.

Под аппроксимацией ВАХ понимают замену ее графической или табличной формы на аналитическую. К уравнению аппроксимации предъявляются два противоречивых требования. Во-первых, уравнение аппроксимации должно по возможности точно описывать заданную ВАХ. Для более полного выполнения этого требования необходимо усложнять структуру этого уравнения. Во-вторых, уравнение аппроксимации, будучи введенным в систему уравнений Кирхгофа, должно позволять решение этой системы доступными методами. Для выполнения этого требования структура этого уравнения должна быть по возможности более простой. Таким образом, при выборе уравнения аппроксимации всегда приходится принимать компромиссное решение между этими двумя требованиями.

Различают два способа аппроксимации нелинейных ВАХ – полная и кусочная (по частям).

В простейших случаях при монотонном характере изменения функции I(U) ВАХ может быть аппроксимирована полностью одним  нелинейным уравнением (рис. 212а).

В более сложных случаях, когда функция I(U) имеет несколько максимумов и минимумов, полная аппроксимация ВАХ одним уравнением становится проблематичной и нерациональной. В таких случаях применяют кусочную аппроксимацию. Суть ее состоит в том, что вся ВАХ разбивается по тому или другому принципу на отдельные участки (куски) (рис. 212б). Отдельные участки аппроксимируются однотипными, но простыми по структуре, уравнениями, коэффициенты в которых изменяются при переходе от одного участка к другому. Если отдельные участки ВАХ аппроксимируются отрезками прямой , то такая аппроксимация получила название кусочно-линейной. Если отдельные участки ВАХ аппроксимируются квадратичной () или кубической () параболой, то отдельные участки получили название сплайнов, а сама аппроксимация – аппроксимации сплайнами. Кусочная аппроксимация позволяет получить высокую степень приближения к заданной ВАХ, однако требует большого числа однотипных расчетов при определении коэффициентов в уравнениях аппроксимации.

Кусочная аппроксимация широко применяется при расчете нелинейных цепей на ЭВМ.

7. Аналитические методы расчета нелинейных цепей

Установившейся режим нелинейной цепи постоянного тока можно описать системой нелинейных алгебраических уравнений Кирхгофа, в которых связь между напряжением и током на нелинейных элементах выражена в виде нелинейного уравнения аппроксимации.

Как известно, в математике не существует общих методов решения систем нелинейных уравнений. В каждом конкретном случае метод решения определяется конкретными условиями задачи: структурой системы уравнений, типом аппроксимации ВАХ нелинейных элементов и другими факторами.

В самых простых случаях возможно выполнить непосредственное решение нелинейного уравнения. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника ЭДС Е, линейного резистора R1 и нелинейного резистора НЭ2 (рис. 213), ВАХ которого аппроксимирована уравнением: а); б); в).

По второму закону Кирхгофа получим уравнение: .

Вид решения этого уравнения зависит от структуры уравнения аппроксимации ВАХ.

а) - решение задачи сводится к решению квадратного уравнения с неизвестным током I;

б)- решение задачи сводится к решению квадратного уравнения с неизвестным напряжением U2;

в)- требуется решение алгебраического уравнения 5-й степени, что выполнить обычным методом невозможно.

В общем случае для решения системы нелинейных алгебраических уравнений используют так называемый метод последовательных приближений или метод итераций. Сущность данного метода состоит в следующем: задаются в первом приближении значением искомой величины . Решают задачу по выбранному алгоритму в направлении к источнику, в результате чего определяют расчетное значение ЭДС источника . Сравнивают расчетное значение ЭДС источника  с заданным значением Е и с учетом неравенства   задаются значением искомой величины во втором приближении и повторяют расчет по тому же алгоритму. Циклы расчета (итерации) повторяют до достижения желаемой точности искомой величины.

Метод последовательных приближений широко используется при расчете нелинейных цепей с помощью ЭВМ. При составлении алгоритма расчета для ЭВМ следует особое внимание обращать на то, чтобы итерационный процесс сходился, в противном случае ЭВМ выдаст ошибку. Рассмотрим несколько примеров.

Пример. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника ЭДС Е, линейного резистора R1 и нелинейного элемента НЭ2 (рис. 213). На рис. 214а, б показаны два варианта ВАХ нелинейного элемента.

По 2-му закону Кирхгофу получим:  или . На рис. 114а, б показано графическое решение этого уравнения, где точка n соответствует значению искомой величины (U2, I).

Составим алгоритм (схему) вычислений для ЭВМ методом последовательных приближений. Произвольно задаем первое приближение для напряжения на нелинейном элементе . Первое приближение для тока находим по ВАХ нелинейного элемента . Последующие приближения для напряжения на нелинейном элементе находим из уравнения 2-го закона Кирхгофа: , ; и т. д.

Процесс расчета по этому алгоритму на рис. 214а, б выглядит в виде спирали, которая на рис. 214а закручивается вокруг точки n, а на рис. 214б раскручивается. Это означает, что в первом случае итерационный процесс сходится и ЭВМ выдаст результаты решения, а во втором случае итерационный процесс расходится и ЭВМ укажет на ошибку программы.

В курсе математики доказывается, что итерационный процесс сходится при условии, если абсолютное значение производной от искомой величины в окрестностях искомого корня (точки n) меньше 1:

 или   или .

Для решения данной задачи можно составить другую схему вычислений:

;  и т. д.

Тогда условие сходимости примет следующий вид:

  или .

Очевидно, если по первой схеме вычислений итерационный процесс сходится, то по второй он расходится, и наоборот.

Схему вычислений на ЭВМ можно организовать по известному из математики методу половинного деления. По этому методу приближение для искомой величины устанавливается на середине предполагаемой области его значений. В рассматриваемом примере для напряжения U2 прилагаемая область значений О1=0; О2=Е. Схема вычислений будет иметь вид:

 
 

 и т. д.

Сходимость итерационного процесса по этой схеме вычислений показана на рис. 215.

В общем случае для сложной цепи быстрота сходимости итерационного процесса зависит от вида ВАХ НЭ, параметров линейных элементов, выбора начальных приближений. Однако основным фактором, определяющим решение нелинейных уравнений итерационным методом, является выбор схемы (алгоритма) вычислений.

Итерационный метод сегодня является основным методом расчета нелинейных цепей.

 

 

 

 

 

 


Методы расчета электрических полей постоянного тока