Анализ цепей синусоидального тока Метод законов Кирхгофа Векторные диаграммы Резонанс в электрических цепях Топологические методы расчета Расчет сложных трехфазных цепей Теория нелинейных цепей Уравнения Максвелла

Электротехника. Расчет электрических цепей в задачах курсового расчетах

Линия с распределенными параметрами без потерь

Для кабельных линий с распределенными параметрами, работающих на высоких частотах (линии связи), реактивные параметры значительно превосходят активные   и . При расчете режимов таких линий можно без особого ущерба для точности расчета пренебречь активными параметрами и принять их равными нулю . В таком случае линия становится идеальной или без потерь.

Волновое сопротивление линии без потерь:

  -

является чисто активным и не зависит от частоты. Цепь переменного тока с емкостным элементом

Постоянная распространения линии без потерь:

,

где

В линии без потерь отсутствует затухание сигнала , а фазовая скорость v не зависит от частоты, следовательно, линия без потерь является неискажающей.

Учитывая математические соотношения, что , и

преобразуем комплексные уравнения установившегося синусоидального режима линии:

 - при отсчете координаты х от начала линии,

 - при отсчете координаты y от конца линии,

  - входное сопротивление линии.

Режим линии без потерь определяется свойствами (параметрами) самой линии и величиной и характером нагрузки  на ее конце. Исследуем работу линии в различных режимах нагрузки.

1.Режим согласованной нагрузки: .

Учитывая, что , комплексные уравнения линии получат следующий вид:

- при отсчете координаты y от конца линии,

  - входное сопротивление линии.

В режим согласованной нагрузки напряжение u(t,y) и ток i(t,y) состоят только из падающих волн, которые распространяются от начала линии к ее концу без затухания. Действующие значения напряжения U(y) и тока I(y) не зависят от координаты у и во всех точках линии имеют одинаковые значения.

Входное сопротивление линии  равно волновому  и не зависит от длины линии. Графические диаграммы названных функций показаны на рис. 181

2.Режим холостого хода:  Комплексные уравнения режима линии получат вид:

 - при отсчете координаты y от конца линии,

   - входное сопротивление линии.

Входное сопротивление линии Z1(у), является чисто реактивным, его величина и характер зависят от длины линии.

Графические диаграммы названных функций показаны на рис. 2.

Режим линии, при котором в некоторых ее точках наблюдаются максимальные значения напряжения (тока) или пучности, а в других ее точках – нулевые значения этих величин или узлы, получил название в технике режима стоячих волн. Узлы и пучности для одной и той же величины следуют друг за другом через отрезки равные  где  - длина волны, при этом узлы одной величины совпадают с пучностями другой.

Режим стоячих волн физически можно объяснить как результат наложения падающей и наложенной волн с одинаковыми амплитудами. В точках линии, в которых мгновенные значения падающей и отраженной волн всегда совпадают, образуются пучности, а в точках, где эти значения складываются с противоположным знаком (в противофазе), образуются узлы.

 

Следует отметить, что режим стоячих волн имеет место в линии без потерь при чисто реактивной нагрузке  любой величины (). При реактивной нагрузке энергия, доставляемая падающей волной в конец линии, полностью отражается, при этом амплитуда отраженной волны равна амплитуде подающей волны. Входное сопротивление линии при реактивной нагрузке  является чисто реактивным:

  где .

3.Режим произвольной нагрузки: .

Расчет режима линии производится путем совместного решения ее комплексных уравнений и уравнений закона Ома: и . При произвольной несогласованной нагрузке в конце линии происходит частичное отражение волн, при этом амплитуды отраженных волн напряжения и тока будут меньше амплитуд падающих волн. Распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии будет носить волнообразный характер рис. 3, при этом максимумы и минимумы функции будут следовать друг за другом через интервал .

Степень несогласованности сопротивления нагрузки  с волновым сопротивлением линии ZC характеризуется коэффициентом стоячей волны:

В реальных условиях для согласования нагрузки с линией применяются специальные согласующие устройства.

8. Переходные процессы в линии с распределенными параметрами

В цепях с сосредоточенными параметрами переходные процессы протекают одновременно во всех направлениях цепи с одинаковой скоростью затухания.

В цепях с распределенными параметрами переходной процесс, начавшийся в какой-либо точке цепи, распространяется на остальные элементы в виде волн, которые распространяются вдоль цепи с конечной скоростью v. Эта скорость близка к скорости света км/c в воздушных линиях и v<c для кабельных линий. По мере распространения вдоль линии волна изменяет свою форму, поэтому переходной процесс в разных точках линии выглядит по-разному. Таким образом, переходной процесс в цепи с распределенными параметрами протекает в функции двух переменных – пространства и время.

В высоковольтных линиях электропередачи переходные процессы возникают при различных коммутациях, а так же от грозовых явлений в атмосфере. При переходом процессе на отдельных участках линии могут возникнуть перенапряжения, нередко приводящие к пробою изоляции, или большие токи, вызывающие механические разрушения конструкций. Умение рассчитывать эти перенапряжения и сверхтоки необходимы в инженерной практике для правильного выбора и расчета отдельных частей электроустановок.

Анализ переходных процессов в линии с распределёнными параметрами проводится на основе решения ее дифференциальных уравнений, полученных ранее:

.

Решение дифференциальных уравнений в частных производных в общем случае представляет сложную математическую задачу, решение которой выходит за рамки учебного курса ТОЭ. Поэтому здесь ограничимся рассмотрением частного случая линии без потерь, т.е. при условии , .

Дифференциальные уравнения линии без потерь получат вид:

;

.

Выполним решение этой системы дифференциальных уравнений, для чего каждое из уравнений продифференцируем сначала по переменной х, а потом по переменной t:

 

   

Совместное решение каждой пары полученных уравнений дает результат:

Введем обозначение - скорость волны, после чего уравнения примут вид:

В курсе математики уравнения данного вида получили название волновых, и им соответствует следующие решения (без вывода):

,

.

9. Расчет падающих волн в линии с распределенными параметрами при подключении ее к источнику ЭДС

Пусть линия с волновым сопротивлением  в момент t = 0 подключается к источнику ЭДС   или  с нулевыми или с ненулевыми внутренними параметрами . Источник ЭДС воспринимает линию как волновое сопротивление , поэтому эквивалентная схема цепи для расчета режима в начале линии будет иметь вид рис. 185 а, б:

Рассмотрим различные варианты форм падающих волн  в зависимости от параметров источника ЭДС.

Источник постоянной ЭДС e(t) = E с нулевыми внутренними параметрами  ( рис. 185а ).

После замыкания рубильника в момент t=0 возникнут падающие волны с прямоугольным фронтом: . Фронтом волны называется ее начальный участок. Во всех точках линии, пройденных фронтом волны, устанавливается постоянный режим (),  u(t)=E, . Для точек линии, куда фронт не дошел (), u=0 и i=0 (рис. 186). Так как формы падающих волн  и  идентичны, то на графической диаграмме рис. 186 изображена только падающая волна напряжения .

Источник синусоидальной ЭДС с нулевыми внутренними параметрами  (рис. 1а).

Напряжение и ток в начале линии после замыкания рубильника установятся мгновенно и будут равны:

.

 Фронт волны будет определяться начальной фазой  в момент времени включения t = 0;. С течением времени волны будут распространяться вдоль линии. Дли их математического выражения заменим в предыдущих уравнениях переменную t на :

,

.

Как и в предыдущем случае, решение справедливо при условии . Из решения следует, что падающие волны  и  распределяются вдоль линии по синусоидальному закону (рис. 187).

Источник постоянной ЭДС e(t)=Е с параметрами  (рис. 1б).

Напряжение и ток в начале линии после замыкания рубильнику определятся путем расчета переходного процесса в схеме замещения (рис. 1б) классическим или операторным методом:

,

где - корень характеристического уравнения.

Для математического выражения волн в линии заменим переменную t на :

.

Полученные решения справедливы при условии . Из решения следует, что падающие волны   и  изменяются во времени и пространстве по экспоненциальному закону (рис. 188а, б).

Таким образом, для расчета падающих волн в линии ,  необходимо выполнить расчет переходного процесса в схеме замещения для начала линии и в полученных выражениях заменить переменную t на .

 

 

 

 


Методы расчета электрических полей постоянного тока