Анализ цепей синусоидального тока Метод законов Кирхгофа Векторные диаграммы Резонанс в электрических цепях Топологические методы расчета Расчет сложных трехфазных цепей Теория нелинейных цепей Уравнения Максвелла

Электротехника. Расчет электрических цепей в задачах курсового расчетах

Электрические цепи с распределенными параметрами

Параметры электрических цепей в той или иной мере всегда распределены вдоль длины отдельных участков. В большинстве практических случаев распределением параметров вдоль длины пренебрегают и представляют электрическую цепь эквивалентной схемой с сосредоточенными схемными элементами R , L и C.

Однако существует большой класс электрических цепей, для которых пренебрежение распределением параметров вдоль длины приводит к существенным погрешностям при их расчёте и становится неприемлемым.

Из курса физики известно, что электромагнитное поле распространяется вдоль электрической цепи не мгновенно, а с конечной скоростью υ, проходя всю длину цепи l за время . Если за время ∆t режимные параметры в цепи (u, ί) изменяются незначительно и этим изменением можно пренебречь, то для такой цепи пренебрегают распределением параметров вдоль длины и замещают ее схемой с сосредоточенными элементами. Если за время ∆t режимные параметры в цепи (u, ί) изменяются на заметную величину, которую необходимо учитывать в расчете, то такие цепи считаются с распределенными параметрами и расчет их проводится уже с учетам распределения параметров вдоль их длины.

 Пример 1. Воздушная линия электропередачи длиной l = 50 км работает на частоте ƒ = 50 Гц, скорость волны υ=300000 км/с, ,  6000км, с, . Таким образом, фазовый сдвиг для волн напряжения и тока вначале и в конце линии составляет всего 3,6о, чем можно пренебречь и считать  такую линию как цепь сосредоточенными параметрами. 

 Пример 2. Линия электропередачи длиной l=500 км: ƒ = 50 Гц, υ=300000 км/с,  с, . Входное сопротивление пассивного четырехполюсника В случае, когда четырехполюсник включен между генератором и нагрузкой, то режим работы генератора будет существенно завесить от входного сопротивления четырехполюсника. В свою очередь, этот параметр будет зависеть от входного сопротивления четырехполюсника, а также сопротивления нагрузки ZН1 и ZН2. Для определения коэффициентов Zвх1 и Zвх2 выполняют режимы холостого хода и короткого замыкания, что упрощает исходную систему уравнений.

Фазовый сдвиг для волн напряжения и тока в начале и конце линии составляет 36о, расчет режима в такой линии без учета распределения параметров по длине привел бы к существенным ошибкам, поэтому такую линию следует считать как цепь с распределенными параметрами.

  Пример 3. Соединительный кабель от комнатной антенны до входного гнезда телевизора имеет длину l=2 м, телевизионный канал работает на частоте ƒ=150 МГц, υ=200000 км/с, с, 1,3 м,  с,  .

 Вывод: соединительный кабель следует рассматривать как цепь с распределенными параметрами.

При синусоидальном режиме цепи критерием необходимости учета распределения параметров по длине может служить соотношение между длиной линии l и длиной волны . Если l<< ,то цепь рассматривается как c сосредоточенными параметрами (в примере 1: ), если l и  соизмеримы, то цепь рассматривается как с распределенными параметрами (в примере 2: , в примере 3: ).

К цепи с распределенными параметрами относятся все лини связи, линии электропередачи длиной l > 100 км.

Одни и те же электрические цепи в зависимости от формы воздействующего  напряжения в одних случаях принимаются с распределенными параметрами, а в других - с сосредоточенными параметрами. Например, обмотки силовых трансформаторов при расчете установившихся режимов в них на частоте ƒ=50 Гц считаются цепями с сосредоточенными параметрами, но при расчете переходных процессов, возникающих в результате коммутации или атмосферных разрядов те же обмотки считаются цепями с распределенными параметрами.

Если параметры цепи распределены равномерно по ее длине, то цепь называется, однородной, если неравномерно ― то неоднородной. В курсе ТОЭ рассматриваются только однородные цепи. 

 

2. Дифференциальные уравнения цепи с распределенными параметрами

Рассмотрим двухпроводную однородную линию, физические параметры которой равномерно распределены по ее длине:

― активное сопротивление пары проводов на единицу длины [Ом/м], определяется по известной формуле , зависит от материала провода (γ ) и от ее температуры ;

― индуктивность пары проводов на единицу длины линии [Гн/м], определяется как отношение потокосцеплепия к току (), является отображением магнитного поля линии в ее схеме замещения, зависит от магнитных характеристик среды (μ) и геометрических размеров линии;

― активная проводимость между проводами на единицу длины линии [См/м], является следствием несовершенства изоляции между проводами, зависит от электрических параметров среды (γ) и геометрических размеров линии;

― емкость между проводами на единицу длины линии [Ф/м], определяется как отношение заряда к напряжению(), является отображением электрического поля линии в ее схеме замещения, зависит от электрических характеристик среды (e) и геометрических размеров линии.

Удельные параметры линии  зависят от физических параметров самих проводов и окружающий их среды, поэтому они получили название физических или первичных.

Разделим всю линию на элементарные участки длиной dх и рассмотрим один из таких участков, находящийся на расстоянии х от начала линии. Схема замещения участка будет иметь вид рис.1.Здесь u и i ― напряжение и ток в начале рассматриваемого участка. В конце участка напряжение и ток получают приращения: и .

Функции напряжения и тока ( u, i ) зависят от двух параметров t и x, они изменяются в пространстве и во времени, поэтому дифференциальные уравнения для схемы замещения следует составлять в частных производных.

Уравнение по 2-му закону Кирхгофа для контура:

 .

После упрощения получим:

  (1).

По закону Ома и 1-му закону Кирхгофа:

В приведенном выражении пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости, содержащими .

По 1-му закону Кирхгофа для узла:

После упрощения получим:

- (2).

Уравнения (1) и (2) являются основными дифференциальными уравнениями двухпроводной линии с распределенными параметрами, которые используются для расчета как переходного, так и установившегося режима линии. 

3. Решение уравнений линии с распределенными параметрами в установившемся синусоидальном режиме

Пусть напряжение и ток в линии с распределенными параметрами изменяются по синусоидальному закону:

,

  .

Заменим в дифференциальных уравнениях линии синусоидальные функции   и  и их производные  и  соответствующими комплексными изображениями , , , :

  (1)

 (2)

В уравнениях (1) и (2) приняты обозначения: - комплексное сопротивление линии на единицу длины [Ом /м], - комплексная проводимость линии на единицу длины [См /м].

Дифференцируем уравнение (2) по переменной х и делаем в него подстановку из (1):

  или

 (3)

Решаем дифференциальное уравнение 2-го порядка (3) классическим методом. Характеристическое уравнение и его корни:

, откуда --, ++.

Решение для искомой функции в общем виде:

,

где  - безразмерная комплексная величина, названная коэффициентом (постоянной) распространения, - комплексные постоянные интегрирования, которые определяются через граничные условия, т. е. через значения искомых функций U(x), I(x) в заданной точке линии, например в ее начале (х=0) или в ее конце (x=l).

Из уравнения (1) находим:

 

где  ― волновое или характеристическое сопротивление линии.

Таким образом, решения для искомых функций U(x) и I(x) имеют вид:

,  (4)

. (5)

Волновое сопротивление и постоянная распространения получили название вторичных параметров линии.

Выразим постоянные интегрирования и  через граничные условия начала линии. При х=0 , , подставим эти значения в уравнения (4) и (5):

Совместное решение этих уравнений позволяет определить постоянные интегрирования:.

Подставим полученные значения постоянных интегрирования в решения для искомых функций (4) и (5): 

Полученные уравнения используются при расчетах цепей с распределенными параметрами в установившемся синусоидальном режиме.

Если принять х=l ,то получим значения параметров режима в конце линии:

Выразим постоянные интегрирования через граничные условия конца линии. Для этой цели в полученных ранее решениях (4) и (5) заменим переменные х на l-y из условия x=l-y, где l ― длина всей линии, а y ― расстояние от конца линии до рассматриваемой точки: 

,

.

Здесь  есть некоторые новые постоянные интегрирования.

При y=0  ,  подставим эти значения в найденные уравнения, получим:

Совместное решение этих уравнений позволяет определить постоянные интегрирования:

Подставляем значение постоянных в решение для искомых функций:

Полученные уравнения используются при расчете цепей с распределенными параметрами в установившемся синусоидальном режиме.

Если принять y=l , то получим значение параметров режима в начале линии:

4.  Волновые процессы в линии с распределенными параметрами.

Ранее были получены решения для напряжения и тока в установившемся режиме:

,

.

Учитывая, что постоянные интегрирования и коэффициент распространения являются комплексными числами (, , ) преобразуем уравнение для U(x):

.

Перейдем от комплексного изображения функции к ее оригиналу, т.е. к ее функции времени: 

.

Функция u(x,t) состоит из двух слагаемых, первое из которых представляет собой прямую или падающую волну uп(x,t), а второе - обратную или отраженную волну uо(x,t). Проанализируем, как изменяется каждая из волн в пространстве и во времени.

Падающая волна напряжения равна: .

В произвольной точке линии напряжение изменяется по синусоидальному закону с постоянной амплитудой:

,

  где .

В произвольно выбранный момент времени  напряжение вдоль линии изменяется по синусоидальному закону, но с затуханием амплитуды с увеличением расстояния х:

,

где  .

Коэффициент β показывает, как изменяется фаза падающей волны напряжения на единицу длины линии [рад/м] и называется коэффициентом фазы.

Длиной волны λ называется расстояние ∆х между двумя ближайшими точками линии, которые находятся в одинаковом фазовом состоянии, т.е. через интервал 2π:

β∆x = βλ = 2π, откуда следует .

С течением времени синусоидальное распределение напряжения перемещается вдоль линии. Под скоростью распространения волны или фазовой скоростью понимают скорость перемещения вдоль линии определенного фазового состояния, для чего должно удовлетворяться условие: .

Продифференцируем члены этого уравнения, в результате получим:, откуда следует:

Неравенство > 0 означает, что падающая волна перемещается в положительном в направлении, т. е. от начала линии к ее концу.

Амплитуда падающей волны зависит от координаты х: , она

убывает (затухает) по показательному закону  в направление возрастания х, т.е. в направлении движения волны. Скорость затухания определяется коэффициентом α, который получил название коэффициента затухания волны [Неп/м].

Коэффициент показывает в комплексе характер изменения волны при движении ее вдоль линии, поэтому получил название коэффициента распространения волны.

Характер распространения падающей волны напряжения  показан на рис. 179.

 

 

Отраженная волна напряжения равна:

,

Фазовая скорость отраженной волны найдется из уравнения:  

После дифференцирования получим: , откуда следует

Отраженная волна распространяется с той же фазовой скоростью, что и падающая, но в обратном направлении (знак минус), т.е. от конца линии к ее началу. Она имеет ту же длину волны . Амплитуда отраженной волны , при α > 0 убывает ( затухает ) в направлении уменьшения координаты х , т.е. в направлении движения волны.

Характер распространения отраженной волны показан на рис. 180.

Действительное значение напряжения в любой точке лини х’ в любой момент времени t’ будет равно сумме значений напряжений падающей и отраженной волн:

.

Очевидно, что функцию тока в линии  также можно рассматривать как результат наложение падающей  и отраженной волн стой лишь разницей, что отраженная волна накладывается с обратным знаком:

.


Методы расчета электрических полей постоянного тока