Электротехника. Расчет электрических цепей в задачах курсового расчетах

Анализ переходных процессов в цепи R, L, C

Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес представляют свободные составляющие, так как характер свободного процесса оказывается существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными сопряженными.

  Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 145). Расчет обмотки электромагнита ~ тока Исходными данными для расчета обмотки напряжения является амплитуды МДС, магнитный поток Ф и напряжение сети U

Общий вид решения для тока:  .

Установившаяся составляющая: .

Характеристическое уравнение и его корни: , откуда:

;  .

Дифференциальное уравнение:  .

Независимые начальные условия: ; .

Зависимое начальное условие: ; откуда .

Постоянные интегрирования определяется из соместного решения системы уравнений:

  , откуда .

Окончательное решение для тока:

.

Исследуем вид функции  при различных значениях корней характеристического уравнения.

а)  Корни характеристического уравнения вещественные, не равны друг другу. Это имеет место при условии  или , тогда , , причем , .

При изменении t от 0 до ∞ отдельные функции  и  убывают по экспоненциальному закону от 1 до 0, причем вторая из них убывает быстрее, при этом их разность . Из этого следует вывод, что искомая функция тока  в крайних точках при t = 0 и при t = ∞ равна нулю, а в промежутке времени 0 < t < ∞ - всегда положительна, достигая при некотором значении времени  своего максимального значения . Найдем этот момент времени:

, или , откуда .

Графическая диаграмма функции  для случая вещественных корней характеристического уравнения показана на рис. 146.

Продолжительность переходного процесса в этом случае определяется меньшим по модулю корнем: .

Характер переходного процесса при вещественных корнях характеристического уравнения получил название затухающего или апериодического.

б) Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные. Это имеет место при соотношении параметров  или , тогда

,

  где  - коэффициент затухания,  - угловая частота собственных колебаний.

Решение для исконной функции может быть преобразовано к другому виду:

.

Таким образом, в случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения искомая функция  изменяется во времени по гармоническому закону   с затухающей амплитудой . Графическая диаграмма функции  показана на рис. 147.

Период колебаний , продолжительность переходного процесса определяется коэффициентом затухания:.

Характер переходного процесса при комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения получил название колебательного или периодического.

В случае комплексно сопряженных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

  или ,

где коэффициенты  и  или  и  являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

в) Корни характеристического уравнения вещественные и равны друг другу. Это имеет место при условии  или , тогда .

Полученное ранее решение для искомой функции  в этом случае становится неопределенным, так как числитель и знаменатель дроби превращаются в нуль. Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя, считая , а , которая стремится к . Тогда получим:

.

Характер переходного процесса при равных корнях характеристического уравнения получил название критического. Критический характер переходного процесса является граничным между затухающим и колебательным и по форме ничем не отличается от затухающего. Продолжительность переходного процесса . При изменении только сопротивления резистора  затухающий характер переходного процесса соответствует области значений  , колебательный характер - также области значений , а критический характер – одной точке . Поэтому на практике случай равных корней характеристического уравнения встречается крайне редко.

В случае равных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:

,

где коэффициенты  и  являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.

Критический режим переходного процесса характерен тем, что его продолжительность имеет минимальное значение . Указанное свойство находит применение в электротехнике.

19. Переходные функции по току и напряжению

Пусть произвольная электрическая цепь с нулевыми начальными условиями   в момент времени включается под действием источника постоянной ЭДС  (рис. 148).

 

 

 

 

 

 

Переходной процесс не изменится, если из схемы убрать ключ, а постоянную ЭДС   заменить скачкообразной  со скачком в момент (рис. 149).

Функция  называется единичной скачкообразной функцией, имеющей значения: 

 

 

Возникающие на любых участках цепи токи  и напряжения  прямо пропорциональны скачкообразной ЭДС :

где  - переходная функция по току, или переходная проводимость,  - переходная функция по напряжению.

Переходная функция по току  или по напряжению  называется функция по времени, численно равная соответствующему току  или напряжению  при включении цепи с нулевыми начальными условиями к источнику единичной постоянной . Переходные функции  и  могут быть рассчитаны для любой схемы классическим или операторным методом.

Пример. Рассчитать переходные функции для тока  и напряжения  в цепи R,С.

Выполним расчет переходного процесса в цепи R, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС  (рис. 3) классическим методом. В результате найдем:

; .

Искомые переходные функции получим из найденных выражений, заменив в них Е на 1.

  ; .

Переходные функции используются при расчете переходных процессов методом интеграла Дюамеля.

20. Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля

Метод интеграла Дюамеля применяется для расчета переходных процессов в электрических цепях в том случае, если в рассматриваемой цепи действует источник ЭДС   произвольной формы, отличной от стандартной (постоянной или синусоидальной).

Пусть к источнику ЭДС произвольной формы  подключается цепь с нулевыми начальными условиями и с заданной переходной проводимостью  (рис. 4).

Заменим непрерывную кривую ЭДС  приближенно ступенчатой с интервалами по оси  между отдельными скачками, равными . Первый скачок ЭДС равен  и действует в момент . Все последующие скачки ЭДС можно определить как  и действуют они с запаздыванием на , то есть в момент . Ток на выходе цепи в произвольный момент времени t можно рассматривать в соответствии с принципом наложения как сумму частичных токов, возникающих под действием отдельных скачков ЭДС, следующих друг за другом через промежутки в интервале времени от 0 до t.

Частичный ток, вызванный первым источником ЭДС, будет равен , а частичные токи, вызванные последующими скачками ЭДС, будут равны: .

Результирующий ток равен сумме частичных токов:

.

Перейдем к бесконечно малым интервалам  и заменим сумму интегралом:

.

Полученное выражение для  носит название интеграла Дюамеля и применяется на практике для расчета переходных процессов в электрических цепях при воздействии на них источников ЭДС или тока произвольной формы.

Порядок применения интеграла Дюамеля:

Выполняют расчет переходного процесса классическим или операторным методом при включении исследуемой цепи к источнику единичной постоянной ЭДС  и таким образом определяют необходимую переходную функцию по току  или по напряжению .

Определяют переходную функцию  или  путем замены в выражениях  или  переменной  на .

Находят производную от функции ЭДС  и в полученном выражении заменяют переменную t на t, в результате получают функцию .

Выражения функций ,  или  подставляют в формулу интеграла Дюамеля, выполняют интегрирование по переменной  и подставляют пределы интегрирования по переменной t. При необходимости упрощают структуру полученного выражения искомой функции   или .

Замечания:

Если функция  претерпевает скачки или разрывы, то она разбивается на отдельные участки с плавным изменением функции, при этом интеграл Дюамеля применяется к каждому участку в отдельности.

При расчете переходных процессов в цепях постоянного или синусоидального тока метод интеграла Дюамеля проигрывает классическому и операторному методам, поэтому для таких цепей он не применяется.

Пример. Рассчитать ток  в цепи R, C при действии на нее трапециевидного импульса с заданными параметрами (рис. 152):

 

Переходная проводимость схемы:

 ; .

Производная от функции ЭДС : ; .

Так как функция  в момент времени  изменяется скачком, то ее разбиваем на два участка , для каждого из которых находим свое решение для искомой функции .

Решение для : 

Решение для :