Анализ переходных процессов в цепи R, L, C
Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес представляют свободные составляющие, так как характер свободного процесса оказывается существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными сопряженными.
Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 145). Расчет обмотки электромагнита ~ тока Исходными данными для расчета обмотки напряжения является амплитуды МДС, магнитный поток Ф и напряжение сети U
![]()
Общий вид решения для тока:
.
Установившаяся составляющая:
.
Характеристическое уравнение и его корни:
, откуда:
;
.
Дифференциальное уравнение:
.
Независимые начальные условия:
;
.
Зависимое начальное условие:
; откуда
.
Постоянные интегрирования определяется из соместного решения системы уравнений:
, откуда
.
Окончательное решение для тока:
.
Исследуем вид функции
при различных значениях корней характеристического уравнения.
а) Корни характеристического уравнения вещественные, не равны друг другу. Это имеет место при условии
или
, тогда
,
, причем
,
.
При изменении t от 0 до ∞ отдельные функции
и
убывают по экспоненциальному закону от 1 до 0, причем вторая из них убывает быстрее, при этом их разность
. Из этого следует вывод, что искомая функция тока
в крайних точках при t = 0 и при t = ∞ равна нулю, а в промежутке времени 0 < t < ∞ - всегда положительна, достигая при некотором значении времени
своего максимального значения
. Найдем этот момент времени:
, или
, откуда
.
Графическая диаграмма функции
для случая вещественных корней характеристического уравнения показана на рис. 146.
Продолжительность переходного процесса в этом случае определяется меньшим по модулю корнем:
.
Характер переходного процесса при вещественных корнях характеристического уравнения получил название затухающего или апериодического.
б) Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные. Это имеет место при соотношении параметров
или
, тогда
,
где
- коэффициент затухания,
- угловая частота собственных колебаний.
Решение для исконной функции может быть преобразовано к другому виду:
.
Таким образом, в случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения искомая функция
изменяется во времени по гармоническому закону
с затухающей амплитудой
. Графическая диаграмма функции
показана на рис. 147.
Период колебаний
, продолжительность переходного процесса определяется коэффициентом затухания:
.
Характер переходного процесса при комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения получил название колебательного или периодического.
В случае комплексно сопряженных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:
или
,
где коэффициенты
и
или
и
являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.
в) Корни характеристического уравнения вещественные и равны друг другу. Это имеет место при условии
или
, тогда
.
Полученное ранее решение для искомой функции
в этом случае становится неопределенным, так как числитель и знаменатель дроби превращаются в нуль. Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя, считая
, а
, которая стремится к
. Тогда получим:
.
Характер переходного процесса при равных корнях характеристического уравнения получил название критического. Критический характер переходного процесса является граничным между затухающим и колебательным и по форме ничем не отличается от затухающего. Продолжительность переходного процесса
. При изменении только сопротивления резистора
затухающий характер переходного процесса соответствует области значений
![]()
, колебательный характер - также области значений
, а критический характер – одной точке
. Поэтому на практике случай равных корней характеристического уравнения встречается крайне редко.
В случае равных корней для определения свободной составляющей применяют частную форму:
,
где коэффициенты
и
являются новыми постоянными интегрирования, которые определяются через начальные условия для искомой функции.
Критический режим переходного процесса характерен тем, что его продолжительность имеет минимальное значение
. Указанное свойство находит применение в электротехнике.
19. Переходные функции по току и напряжению
Пусть произвольная электрическая цепь с нулевыми начальными условиями
в момент времени
включается под действием источника постоянной ЭДС
(рис. 148).
Переходной процесс не изменится, если из схемы убрать ключ, а постоянную ЭДС
заменить скачкообразной
со скачком в момент
(рис. 149).
Функция
называется единичной скачкообразной функцией, имеющей значения:
Возникающие на любых участках цепи токи
и напряжения
прямо пропорциональны скачкообразной ЭДС
:
где
- переходная функция по току, или переходная проводимость,
- переходная функция по напряжению.
Переходная функция по току
или по напряжению
называется функция по времени, численно равная соответствующему току
или напряжению
при включении цепи с нулевыми начальными условиями к источнику единичной постоянной
. Переходные функции
и
могут быть рассчитаны для любой схемы классическим или операторным методом.
Пример. Рассчитать переходные функции для тока
и напряжения
в цепи R,С.
Выполним расчет переходного процесса в цепи R, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС
(рис. 3) классическим методом. В результате найдем:
;
.
Искомые переходные функции получим из найденных выражений, заменив в них Е на 1.
;
.
Переходные функции используются при расчете переходных процессов методом интеграла Дюамеля.
20. Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля
Метод интеграла Дюамеля применяется для расчета переходных процессов в электрических цепях в том случае, если в рассматриваемой цепи действует источник ЭДС
произвольной формы, отличной от стандартной (постоянной или синусоидальной).
Пусть к источнику ЭДС произвольной формы
подключается цепь с нулевыми начальными условиями и с заданной переходной проводимостью
(рис. 4).
Заменим непрерывную кривую ЭДС
приближенно ступенчатой с интервалами по оси
между отдельными скачками, равными
. Первый скачок ЭДС равен
и действует в момент
. Все последующие скачки ЭДС можно определить как
и действуют они с запаздыванием на
, то есть в момент
. Ток на выходе цепи в произвольный момент времени t можно рассматривать в соответствии с принципом наложения как сумму частичных токов, возникающих под действием отдельных скачков ЭДС, следующих друг за другом через промежутки
в интервале времени от 0 до t.
Частичный ток, вызванный первым источником ЭДС, будет равен
, а частичные токи, вызванные последующими скачками ЭДС, будут равны:
.
Результирующий ток равен сумме частичных токов:
.
Перейдем к бесконечно малым интервалам
и заменим сумму интегралом:
.
Полученное выражение для
носит название интеграла Дюамеля и применяется на практике для расчета переходных процессов в электрических цепях при воздействии на них источников ЭДС или тока произвольной формы.
Порядок применения интеграла Дюамеля:
Выполняют расчет переходного процесса классическим или операторным методом при включении исследуемой цепи к источнику единичной постоянной ЭДС
и таким образом определяют необходимую переходную функцию по току
или по напряжению
.
Определяют переходную функцию
или
путем замены в выражениях
или
переменной
на
.
Находят производную от функции ЭДС
и в полученном выражении заменяют переменную t на t, в результате получают функцию
.
Выражения функций
,
или
подставляют в формулу интеграла Дюамеля, выполняют интегрирование по переменной
и подставляют пределы интегрирования по переменной t. При необходимости упрощают структуру полученного выражения искомой функции
или
.
Замечания:
Если функция
претерпевает скачки или разрывы, то она разбивается на отдельные участки с плавным изменением функции, при этом интеграл Дюамеля применяется к каждому участку в отдельности.
При расчете переходных процессов в цепях постоянного или синусоидального тока метод интеграла Дюамеля проигрывает классическому и операторному методам, поэтому для таких цепей он не применяется.
Пример. Рассчитать ток
в цепи R, C при действии на нее трапециевидного импульса с заданными параметрами (рис. 152):
Переходная проводимость схемы:
;
.
Производная от функции ЭДС
:
;
.
Так как функция
в момент времени
изменяется скачком, то ее разбиваем на два участка
, для каждого из которых находим свое решение для искомой функции
.
Решение для
:
Решение для
:
Методы расчета электрических полей постоянного тока |