Анализ цепей синусоидального тока Метод законов Кирхгофа Векторные диаграммы Резонанс в электрических цепях Топологические методы расчета Расчет сложных трехфазных цепей Теория нелинейных цепей Уравнения Максвелла

Электротехника. Расчет электрических цепей в задачах курсового расчетах

Способы составления системы операторных уравнений

При расчете переходных процессов операторным методом на практике применяется два способа составления системы операторных уравнений.

Сущность 1-го способа состоит в том, что для исходной электрической схемы составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа. Затем каждое слагаемое в этих уравнениях непосредственно подвергается преобразованию Лапласа и таким образом система дифференциальных уравнений преобразуется в соответствующую ей систему операторных уравнений. Составление операторной схемы при этом не требуется.

По 2-му способу вначале составляется операторная схема цепи. Затем для операторной схемы по одному из методов расчета составляется система операторных уравнений, при этом преобразование Лапласа непосредственно не применяется.

Преимущество 2-го способа состоит в том, что система операторных уравнений для расчетной схемы может быть составлена по наиболее рациональному методу расчета.

Оба способа составления операторных уравнений иллюстрируются ниже на примере электрической схемы рис. 136. Поверочный расчет. Заданы: напряжение сети, размеры магнитной системы, обмоточные данные и размеры катушки.

 

По 1-му способу составляем систему дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для электрической схемы:

Подвергаем преобразованию Лапласа каждое слагаемое в этих уравнениях и таким образом превращаем их в систему операторных уравнений:

По  2-му способу составляется операторная схема замещения (рис. 137):

Для операторной схемы рис. 137 составляем систему уравнений по одному из методов расчета сложных цепей, например, по методу контурных токов:

  ,

или по методу двух узлов:

.

13. Переход от изображения функции F(p) к ее оригиналу f(t).

Формула разложения

В  результате совместного решения системы операторных уравнений получают выражение  для искомой функции в операторной форме, т.е. ее операторное изображение F(p).  Переход от операторного изображения функции к ее оригиналу, т.е. к функции времени f(t), является наиболее трудоемкой частью операторного метода расчета. На практике  для этой цели применяются два способа.

 Первый способ – по таблице соответствия.  В этом случае операторное выражение искомой функции F(p) преобразуется к одному  из табличных видов и по таблице соответствия определяется оригинал функции f(t). Следует заметить, что такое преобразование удается осуществить только для простых  выражений, что существенно ограничивает возможности этого способа.

 Второй  способ – по формуле разложения - является более универсальным, поэтому находит  применение в большинстве практических случаев. Сущность этого способа изложена  ниже.

 При решении системы операторных уравнений для искомой функции получают  операторное выражение F(p) в виде дроби, в числителе и знаменателе которой стоят  степенные полиномы:

 .

Из курса математики известно, что при выполнении  условий: а) m>n и б)уравнение  не содержит кратных корней, выражение = может быть представлена в виде суммы простых дробей:

,

где ,,- постоянные  коэффициенты, - корни уравнения .

Для определения коэффициента  умножим обе части уравнения на множитель   и найдем предел выражения F(p) при . Очевидно, что в правой части уравнения получим , а в левой – неопределенность, так как . Раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя:

.

Следовательно, формула для произвольного коэффициента: .

Тогда выражение искомой  функции получает вид:

По  таблице соответствия находим, что операторному изображению соответствует  оригинал , следовательно, оригинал искомой функции получает вид:

=Û

Это  уравнение получило название формулы разложения и используется для перехода от операторного изображения функции  к ее оригиналу, т.е. функции времени . Порядок применения формулы  разложения:

1) Операторное изображение искомой функции  преобразуют к виду дроби =, чтобы в числителе и знаменателе ее стояли степенные  полиномы.

2) Приравнивают к нулю знаменатель дроби  и находят корни этого уравнения .

3) Находят выражение производной знаменателя дроби.

4) Определяют коэффициенты  путем поочередной подстановки значений каждого из корней   в это выражение.

5) Записывают  решение для искомой функции времени  в виде суммы отдельных слагаемых-экспонент,  при необходимости упрощают полученное выражение: .

Последовательность  выполнения отдельных этапов расчета переходных процессов операторным методом показано  ниже в виде диаграммы.

Примечание. Составление системы операторных уравнений  может выполняться по одному из двух вариантов: А - путем непосредственного преобразования дифференциальных уравнений Кирхгофа в операторные в и B - путем составления системы уравнений по одному из методов расчета для операторной схемы замещения.

14. Алгоритм расчета переходных процессов операторным методом

 

Замечания к формуле разложения.

1) Если в исходной схеме имеются источники постоянных ЭДС Е, то уравнение   может иметь один корень, равный нулю (). Подстановка этого корня в формулу разложения дает  постоянную величину , которая соответствует установившейся составляющей искомой  функции.

 2) Если в исходной схеме имеются источники синусоидальных ЭДС  , то уравнение   будет иметь два чисто мнимых и сопряженных корня  и . Подстановка этих корней в формулу разложения в сумме  дает синусоидальную функцию времени, которая соответствует установившейся составляющей  искомой функции:

3) Если уравнение  имеет два комплексно сопряженных корня  и , то подстановка этих корней в формулу разложения  в сумме дает синусоидальную функцию с затухающей амплитудой:

4) Если уравнение  имеет кратные корни (), то формула разложения неприменима. Случай  кратных корней может встретиться в практике крайне редко. Чтобы применить формулу  разложения в этом случае достаточно несущественно изменить параметры одного из  элементов схемы.

Пример. Для схемы рис. 138 с заданными параметрами элементов (Е=100 В, R=50 Ом, R1=20 Ом, R2=30 Ом, С=83,5 мкФ) определить ток   после коммутации.

1) Определяется независимое начальное условие  из расчета схемы рис. 138 в состоянии до коммутации:

B

2)  Составляется операторная схема цепи после коммутации (рис. 139):


 

3) Составляется система контурных  уравнений для схемы рис. 139 в операторной форме:

 

 

Производится решение операторных уравнений относительно искомой функции I1(p):

,

  где 

5) Корни уравнения :

;

6) Коэффициенты  для отдельных корней pk:

7) Окончательное решение  для искомой функции времени:

  A

15. Анализ переходных процессов в цепи R, L

Исследуем, как изменяется  ток  в цепи с резистором R и катушкой L в переходном режиме.  В качестве примера рассмотрим переходной процесс при включении цепи R, L к источнику а) постоянной ЭДС =const и б) переменной ЭДС  (рис. 140).

Расчет переходного  процесса выполним классическим методом.

а) Включение цепи R, L к источнику постоянной ЭДС 

Общий вид решения для тока:   

Установившаяся составляющая тока: .

Характеристическое уравнение и его корни:

.

Независимое  начальное условие: .

Постоянная интегрирования: .

Окончательное решение для искомой функции:

,

где   − постоянная времени, численно равная времени,  за которое амплитуда свободной составляющей затухает в   раза. Чем больше , тем медленнее  затухает переходной процесс. Теоретически затухание свободной составляющей продолжается  до бесконечности. Техническое время переходного процесса   определяется из условия, что за это время свободная составляющая уменьшается до  0,01 от ее первоначального значения:

,  откуда .

На рис. 141  представлена графическая диаграмма искомой функции 

Для приближенного построения графической диаграммы свободной  составляющей  можно воспользоваться таблицей значений этой функции  в интервале времени :

t

0

0,5

1,0

1,5

2

3

4

1

0,61

0,37

0,22

0,14

0,05

0,02

Постоянная  времени  может быть определена из графической диаграммы функции   как отрезок времени ,  по краям которого отношение значений функции равно  раза (рис. 141).

б) Включение цепи  R, L к источнику синусоидальной ЭДС 

Общий  вид решения для тока:

Характеристическое  уравнение и его корни:

Установившаяся  составляющая тока:

, откуда следует

,

где  .

Независимое начальное условие:

Постоянная интегрирования:

  , откуда 

Окончательное  решение для искомой функции:

Из  анализа решения видно, что амплитуда свободной составляющей А зависит от начальной  фазы  источника ЭДС. При  эта амплитуда имеет максимальное значение  , при этом переходной процесс  протекает с максимальной интенсивностью. При  амплитуда свободной составляющей  равна нулю, и переходной процесс в цепи вообще отсутствует. На рис. 142 представлена  графическая диаграмма искомой функции  при , .


16. Анализ переходных процессов  в цепи R, C

Исследуем характер переходных процессов в цепи R, C при включении  ее к источнику а)постоянной ЭДС , б)переменной ЭДС  (рис. 143).

а) Включение цепи R, C к источнику постоянной ЭДС  

Общий вид решения для напряжения  :

.

Установившаяся  составляющая напряжения: :

Характеристическое уравнение и его корни:

, где - постоянная времени.

Независимое начальное  условие:.

Постоянная интегрирования: .

Окончательное решение для искомой функции:

,

.

Подсчитаем  баланс энергий при зарядке конденсатора.

Энергия источника ЭДС:

Энергия,  выделяемая в резисторе R в виде тепла:

.

Энергия  электрического поля конденсатора:

Таким  образом, энергия электрического поля конденсатора составляет ровно половину энергии  источника  и не зависит от величины сопротивления зарядного резистора  R (закон половины). 

Графические диаграммы функций  и  показаны на рис. 144.

б) Включение цепи R, C  к источнику синусоидальной ЭДС .

Общий вид решения для напряжения :

 

Характеристическое уравнение и его корень:

  

Установившаяся составляющая напряжения:

, откуда

 ,

где .

Независимое начальное условие: .

Определение постоянной интегрирования:

  ; откуда .

Как следует из полученного уравнения, амплитуда свободной составляющей   зависит от начальной фазы  источника ЭДС. При  эта амплитуда имеет максимальное значение , при этом переходной процесс протекает с максимальной интенсивностью. При  амплитуда свободной составляющей равна нулю и переходной процесс в цепи отсутствует.


Методы расчета электрических полей постоянного тока