Анализ цепей синусоидального тока Метод законов Кирхгофа Векторные диаграммы Резонанс в электрических цепях Топологические методы расчета Расчет сложных трехфазных цепей Теория нелинейных цепей Уравнения Максвелла

Электротехника. Расчет электрических цепей в задачах курсового расчетах

Расчет электрических цепей несинусоидального тока

Расчет электрических цепей, содержащих источники энергии [источники ЭДС e(t) и источники тока j(t)] с несинусоидальной формой кривой, выполняется по методу положения. Процедуру расчета можно условно разделить на три этапа.

1)Гармонический анализ.

На этом этапе выполняется разложение несинусоидальных функций источников ЭДС e(t) и источников тока j(t) в гармонический ряд Фурье:

Для проведения анализа структуры функций e(t) и j(t) количество гармоник в их разложении определяют значительно больше, чем необходимо для расчета схемы.

2)Аналитический расчет.

Производится аналитический расчет схемы последовательно для каждой гармоники в отдельности. Для постоянной составляющей расчет производится как для резистивной цепи постоянного тока, при этом участки с катушками L закорачиваются, а ветви с конденсаторами C размыкается. Расчет схемы для отдельных гармоник производится как для цепи синусоидального тока, т.е. в комплексной форме, при этом определяются не действующие значения, а комплексные амплитуды токов и напряжений (). Расчет для каждой гармоники выполняется по одному и тому же алгоритму, при этом учитывается зависимость реактивных сопротивлений элементов от частоты и, следовательно, от номера гармоники: . Выбор расчетного метода определяется структурой расчетной схемы.

 Количество гармоник, для которых выполняется расчет схемы, устанавливается исходя из конкретных условий задачи. Например, если определяются только действующие значения токов и напряжений (I, U), то достаточно учитывать только те гармоники, для которых коэффициент , при этом относительная погрешность расчета в итоге не превысит 1% . Однако в тех случаях, когда требуется проводить исследование форм кривых функций u(t) и i(t), то необходимо учитывать также гармоники более высокого порядка с меньшим коэффициентом гармоник .

  3.Синтез решения.

На заключительной стадии расчета определяются искомые величины согласно условию задачи.

 Мгновенные значения токов и напряжений i(t) и u(t) определяются в соответствии с принципом наложения как алгебраической суммы мгновенных значений отдельных составляющих, например:

При необходимости исследования формы кривых функций i(t) и u(t) по полученным уравнениям строится их графические диаграммы.

 Действующие значения токов и напряжений (I, U) находятся как среднеквадратичные значения этих функций по полученным ранее формулам, например:

  Активные мощности отдельных элементов определяется как суммы активных мощностей этих элементов для отдельных гармоник, например:

  Активную мощность отдельных приемников можно определять также по формуле Джоуля: , где -действующее значение тока этого приемника.

Определяются коэффициенты исследуемых несинусоидальных функций: ku - коэффициент искажения, kф - коэффициент формы, kг - коэффициенты отдельных гармоник и т. д.

  Пример. На входе схемы (рис. 123а) с заданными параметрами элементов (R1=30 Ом, R2=20 Ом, L=100 мГн, С=22 мкФ) действует источник несинусоидальной ЭДС (рис. 123б) с частотой f=50 Гц. Требуется определить 1) действующие значения ЭДС Е и токов I, I1, I2; 2) коэффициенты искажения функций ЭДС e(t) и токов i(t), i1(t), i2(t); 3) баланс активных мощностей .

 

 

1-ый этап. Разложение заданной графически функции ЭДС е(t) (рис. 123б) в гармонический ряд Фурье производится с помощью ЭВМ по программе GAR, в результате получим:

Примечание: гармоники, кратные трем, в разложении данной функции отсутствуют.

2-ой этап. Производится расчет схемы для каждой гармоники в отдельности в комплексной форме по одному и тому же алгоритму:

; , где k - номер гармоники.

Результаты расчета сведены в общую таблицу. Расчет останавливаем на 5-ой гармонике, так как амплитуды более высоких гармоник в функции e(t) незначительны и их учет уже не повлияет на конечные результаты расчета.



k

Ekm

Ikm

I1km

I2km

1

157,9 ej0

3,081 e-j30,4

3,634 e-j46,3

1,080 ej82,1

2

39,5 ej180

0,385 ej180

0,576 ej115,5

0,526 e-j105,4

4

9,9 ej0

0,190 ej45,2

0,077 e-j76,54

0,240 ej61,1

5

6,3 ej180

0,154 e-j135,1

0,039 ej100,8

0,179 e-j124,6

3-ый этап. Определяются интегральные параметры искомых функций. Действующие значения функций:

В; I=2,20 A;  I1=2,60 A; I3=0,88 A.

Коэффициенты искажения формы кривых для функций e(t), i(t), i1(t), i2(t):

.

Активная мощность источника энергии:

Вт.

Активная мощность приемников энергии :

  Вт; Вт.

Баланс мощностей: 

Анализ результатов решения и выводы:

1. Для определения действующих значений величин и активных мощностей можно было бы пренебречь 4-ой и 5-ой гармониками, однако для определения коэффициентов искажения формы кривых учет названных гармоник необходим.

2. Величина и характер входного сопротивления схемы зависит от номера гармоники: для 1-ой гармоники ( ) – входное сопротивление носит активно-индуктивный характер; для 2-ой гармоники ()– входное сопротивление носит чисто активный характер,  т.е. на частоте 2-ой гармоники имеет место резонанс токов; для 4-ой гармоники ()– входное сопротивление носит активно-емкостный характер.

3. Форма кривой функции тока i1(t) в ветви с катушкой искажена меньше, чем форма кривой источника ЭДС e(t) () , а форма кривой тока i2(t) в ветви с конденсатором, наоборот, искажена больше (). Такие соотношения между коэффициентами искажения форм кривых объясняются зависимостью реактивных сопротивлений от частоты: .


8. Измерение действующих значений несинусоидальных токов и напряжений

Для измерения действующих значений токов и напряжений в цепях переменного синусоидального тока применяются различные приборы, отличающиеся по принципу их действия или системой. Независимо от устройства шкалы всех приборов для измерения действующих значений токов и напряжений проградуированы в действующих значениях измеряемых величин.

Приборы непосредственного измерения (к таким относятся приборы электромагнитной и электродинамической систем) реагирует на действующее значение измерянной величины (I, U) и, следовательно, для их шкал коэффициент пересчета равен единице (кn=1) .

Приборы косвенного измерения могут реагировать на среднее (Iср, Uср) или на максимальное (Imax, Umax)  значение измеряемой величины, но их показания пересчитываются к действующим значениям синусоидальных функций.

Для приборов, реагирующих на среднее значение,  коэффициент пересчета равен:

Для приборов, реагирующих на максимальное значение, коэффициент пересчета равен:

Действующее значение несинусоидальной функции зависит только от амплитуд отдельных гармоник, в то же время ее максимальное и среднее значения зависят как от амплитуд гармоник, так и от их фазовых сдвигов. Из этого следует вывод, что показания приборов косвенного измерения, реагирующих на максимальное или среднее значение, в цепях несинусоидального тока не будут соответствовать действующим значениям измеряемых величин.

  Рассмотрим два примера. Пусть измеряемое напряжение содержит 1-ю и 3-ю гармоники, но с разными фазовыми сдвигами между ними:

a), (рис. 124а),

б) , (рис. 124б).

Действующие (U), максимальные (Umax) и средние (Uср) значения этих напряжений, рассчитанные математически по соответствующим формулам, а также показания приборов различных систем (V1 – непосредственного измерения, V2 - косвенного измерения с реакцией на максимальное значение Umax и V3 - косвенного измерения с реакцией на среднее значение Uср) приведены ниже в таблице.

 

Схема

U, B

Umax, B

Ucp, B

V1

V2

V3

а)

71,1

90

65,8

71,1

63.6

73,0

б)

71,1

110

61,6

71,1

77,8

68,4

Как видно из приведенных в таблице цифр, показания приборов косвенного измерения существенно зависят от фазового сдвига между гармониками, при этом методическая погрешность измерения может составлять значительную величину (в рассматриваемом примере около 10 %).

 

9. Высшие гармоники в трехфазных цепях

 В симметричном трехфазном режиме токи и напряжения в фазах сдвинуты взаимно во времени на Dt = T/3 в порядке следования фаз А ® В ® С ® А, что в градусной мере составляет : для 1 гармоники Dwt = = 120°, для 2 гармоники D2wt = 2× = 240= -120°, для 3 гармоники D3wt = 3× = 360° = 0, и т. д.

Из этого следует, что в симметричной трехфазной системе гармоники с порядковым номером к = 3n-2 (n = 1, 2, 3…), т.е. 1-я, 4-я, 7-я и т.д., имеют прямой порядок следования фаз А ® В ® С ® А и, следовательно, образуют симметричные системы прямой последовательности. Гармоники с порядковым номером к = 3n+1 (2-я, 5-я, 8-я и т.д.) имеют обратный порядок следования фаз  А ® С ® В ® А и, следовательно, образуют симметричные системы обратной последовательности. Гармоники с порядковым номером к=3n (3-я, 6-я, 9-я и т.д.) имеют нулевой порядок следования фаз, т.е. совпадают, и, следовательно, образуют симметричные системы нулевой последовательности.

 Пусть обмотки трехфазного генератора соединены по схеме звезды с выводом нулевой точки, а его фазные напряжения (ЭДС) содержат все возможные гармоники (рис. 125).

B функциях фазных напряжений будут содержаться все гармоники с соответствующими их номеру сдвигами фаз:

  uA(t) = U1msinwt +U2msin2wt + U3msin3wt + …

 uB(t) = U1msin(wt - 120°) +U2msin(2wt + 120°) + U3msin3wt + …

 uC(t) = U1msin(wt +120°) +U2msin(2wt - 120°) + U3msin3wt + …

 Векторные диаграммы напряжений для 1-й, 2-й и 3-й гармоник показаны на рис. 126а, б, в.

 

 

Линейные напряжения равны разности соответствующих двух фазных напряжений, например uAB = uA - uB. Как следует из векторных диаграмм рис. 9 амплитуды линейных напряжений для гармоник прямой и обратной последовательностей в   раз больше их фазных значений, а гармоники нулевой последовательности (кратные трем) в линейных напряжениях вообще отсутствуют (равны нулю):

 uAB(t) =

 uBC(t) =

 uCA(t) =

 Действующие значения фазного и линейного напряжения :

 

Сравнение полученных уравнений показывает, что при наличии в фазных напряжениях генератора гармоник нулевой последовательности (кратных трем) стандартное соотношение  не соблюдается, а именно . Из совместного решения этих уравнений получим :  - действующее значение всех гармоник нулевой последовательности. В реальных трехфазных цепях четные гармоники, как правило, отсутствуют вообще, а амплитуда 9-й гармоники незначительна, поэтому можно приближенно считать, что U0 » U3 , и U3m » U0 - амплитуда 3-й гармоники.

 Если обмотки трехфазного генератора соединить по схеме треугольника, то гармоники прямой и обратной последовательностей в контуре треугольника складываясь, в сумме дают нуль, а гармоники нулевой последовательности складываются арифметически, и в контуре треугольника будет действовать суммарная ЭДС, равная 3U0. Даже при незначительных амплитудах гармоник нулевой последовательности в фазных ЭДС, вызываемые ими в контуре треугольника токи могут оказаться значительными по величине, так как внутреннее сопротивление обмоток очень мало. Это привело бы к дополнительным потерям энергии в генераторе и снижению его КПД. По этой причине обмотки трехфазных генераторов запрещается соединять по схеме треугольника.

 Расчет трехфазной цепи при несинусоидальном напряжении генератора производится так же, как и любой сложной цепи, а именно, по методу наложения в три этапа. На 1-ом этапе выполняется разложение несинусоидального фазного напряжения в гармонический ряд Фурье. На 2-ом этапе выполняется расчет схемы для каждой гармоники в отдельности, при этом учитывается зависимость порядка следования фаз от номера гармоники. Например, гармоники токов нулевой последовательности могут замкнуться только через нулевой провод, поэтому при отсутствии нулевого провода гармоники кратные трем в фазных и линейных токах равны нулю.

 На заключительном этапе расчета определяются действующие значения токов, напряжений, активные мощности.

 В случае симметричной трехфазной нагрузки расчет токов и напряжений для каждой гармоники можно выполнять только в одной фазе А, а соответствующие токи и напряжения в других фазах определять  через поворотные множители “ а ”, “ а2 ” с учетом порядка следования фаз.

Пример. Задана схема цепи (рис. 127) и комплексные сопротивления фаз на основной частоте (Ом, Ом, Ом. Фазные напряжения генератора несинусоидальны, гармонический состав задан :

uA = 200sinwt + 50sin3wt + 20sin5wt

Требуется определить : 1) действующие значения фазных и линейных напряжений генератора, 2) действующие значения линейных (фазных) токов приемника и тока в нулевом проводе, 3) активные мощности генератора и приемника. 

Расчет схемы для 1-й гармоники (прямая последовательность):

Расчет схемы для 3-й гармоники (нулевая последовательность) :

Расчет схемы для 5-й гармоники (обратная последовательность) : 

Синтез решения.

Действующие значения фазного и линейного напряжений :

  В

 В

  B, что меньше.

Действующие значения токов :

  A

 A

  A

 A

 Так как при наличии нулевого провода отдельные фазы приемника работают независимо друг от друга, то активные мощности отдельных фаз приемника равны активным мощностям одноименных фаз генератора.

PA = I2A×RA = 0.9762×150 = 142.9 Вт

PB = I2B×RB = 1.1082×120 = 147.3 Вт

PC = I2C×RC = 0.8652×100 = 74.8 Вт

P = PA + PB + PC = 365 Вт


Методы расчета электрических полей постоянного тока