Анализ цепей синусоидального тока Метод законов Кирхгофа Векторные диаграммы Резонанс в электрических цепях Топологические методы расчета Расчет сложных трехфазных цепей Теория нелинейных цепей Уравнения Максвелла

Электротехника. Расчет электрических цепей в задачах курсового расчетах

Электрическая цепь с последовательным соединением элементов R, L и C

Пусть в заданной схеме с последовательным соединением элементов R, L и C (рис. 47) протекает переменный ток

.

По 2-му закону Кирхгофа для мгновенных значений функций получим уравнение в дифференциальной форме:

.

То же уравнение в комплексной форме получит вид:

где  - комплексное сопротивление, - реактивное (эквивалентное) сопротивление,  - модуль комплексного или полное сопротивление,  - аргумент комплексного сопротивления или угол сдвига фаз между напряжением и током на входе схемы. При  фазный угол φ>0, при этом цепь в целом носит активно-индуктивный характер, а при  и φ<0 – цепь в целом носит активно-емкостный характер.

Уравнение закона Ома для последовательной схемы будет иметь вид: 

 - в комплексной форме,

  - в обычной форме для модулей.

 

Векторная диаграмма тока и напряжений при φ>0 показана на рис. 48.

В рассматриваемой цепи на переменном токе будут происходить одновременно два физических процесса: преобразование энергии в другие виды в резисторе R (активный процесс) и взаимный обмен энергией между магнитным полем катушки, электрическим полем конденсатора и источником энергии (реактивный процесс).


8. Электрическая цепь с параллельным соединением

элементов R, L и С

Пусть на входе схемы рис. 49 действует переменное напряжение:

По 1-му закону Кирхгофа для мгновенных значений функций получаем уравнение в дифференциальной форме:

То же уравнение в комплексной форме получит вид:

,

где  - комплексная проводимость,  - активная проводимость,  - реактивная индуктивная проводимость,  - реактивная емкостная проводимость,  - реактивная (эквивалентная) проводимость,  - модуль комплексной проводимости или полная проводимость,  - аргумент комплексной проводимости или угол сдвига фаз между напряжением и током на входе схемы. При  и φ>0 – цепь в целом носит активно-индуктивный характер, а при  и φ<0 – цепь в целом носит активно-емкостный характер.

Уравнение закона Ома для параллельной схемы будет иметь вид:

  - в комплексной форме;

  - в обычной форме для модулей.

Векторная диаграмма токов и напряжения при φ>0 показана на рис. 50.

 

На переменном токе в рассматриваемой цепи будут происходить одновременно два физических процесса: преобразование электрической энергии в другие виды (активный процесс) и взаимный обмен энергией между магнитным полем катушки, электрическим полем конденсатора и источником энергии (реактивный процесс).

9. Активные и реактивные составляющие токов и напряжений

При расчете электрических цепей переменного тока реальные элементы цепи (приемники, источники) заменяются эквивалентными схемами замещения, состоящими из комбинации идеальных схемных элементов R, L и С.

Пусть некоторый приемник энергии носит в целом активно-индуктивный характер (например, электродвигатель). Такой приемник может быть представлен двумя простейшими схемами замещения, состоящими из 2-х схемных элементов R и L: а) последовательной (рис. 51а) и б) параллельной (рис. 51б):

Обе схемы будут эквивалентны друг другу при условии равенства параметров режима на входе: , .

Для последовательной схемы (рис. 51а) справедливы соотношения:

,

.

Для параллельной схемы (рис. 51б) справедливы соотношения:

,

.

Сравнивая правые части уравнений для U и I, получим соотношения между параметрами эквивалентных схем:

, .

Из анализа полученных уравнений следует сделать вывод, что в общем случае  и  и соответственно  и , как это имеет место для цепей постоянного тока.

Математически любой вектор можно представить состоящим из суммы нескольких векторов или составляющих.

Последовательной схеме замещения соответствует представление вектора напряжения в виде суммы двух составляющих: активной составляющей Uа, совпадающей с вектором тока I, и реактивной составляющей Uр, перпендикулярной к вектору тока (рис. 52а):

Из геометрии рис. 52а следуют соотношения: 

Треугольник, составленный из векторов , ,  получил название треугольника напряжений (рис. 52а).

Если стороны треугольника напряжений разделить на ток I, то получится новый треугольник, подобный исходному, но сторонами которого являются полное сопротивление Z, активное сопротивление R и реактивное сопротивление X. Треугольник со сторонами Z, R, X  называется треугольником сопротивлений (рис. 52б). Из треугольника сопротивлений следуют соотношения: R=Z×cosφ, X=Z×sinφ, , .

Параллельной схеме замещения соответствует представление вектора тока в виде суммы двух составляющих: активной составляющей Iа, совпадающей с вектором напряжения U, и реактивной составляющей Iр, перпендикулярной к вектору U (рис. 53а):

Из геометрии рисунка следуют соотношения:

.

Треугольник, составленный из векторов    получил название треугольника токов (рис. 53а).

Если стороны треугольника токов разделить на напряжение U, то получится новый треугольник, подобный исходному, но сторонами которого являются проводимости: полная – Y, активная -G, реактивная – B (рис. 53б). Треугольник со сторонами Y, G, B называется треугольником проводимостей. Из треугольника проводимостей следуют соотношения:

.

Разложение напряжений и токов на активные и реактивные составляющие является математическим приемом и применяется на практике для расчета сравнительно несложных цепей переменного тока.

10. Передача энергии от активного двухполюсника (источника) к пассивному двухполюснику (приемнику)

Двухполюсником называется устройство или часть схемы (цепи) с двумя выводами (полюсами). Если внутри двухполюсника содержатся источники энергии, то он называется активным (A), в противном случае – пассивным (П).

Энергетические характеристики передачи энергии от активного двухполюсника (источника) к пассивному двухполюснику (приемнику) на переменном токе зависят от соотношения параметров приемника и источника между собой (рис. 54).




По закону Ома ток в схеме равен:

  .

Активная мощность приемника:

.

Активная мощность источника: PE=E×I.

При постоянных параметрах источника энергии активная мощность приемника зависит от его параметров: . Исследуем эту функцию на максимум при изменении отдельных параметров.

Условие первое: X2 = var, R2=const:

  или .

Максимум мощности приемника  имеет место при условии равенства реактивных сопротивлений приемника и источника по модулю и противоположности их по знаку, например, если реактивное сопротивление источника носит индуктивный характер, то реактивное сопротивление приемника должно быть емкостным, и наоборот.

Условие второе: R2 = var, X2 = const.

 или .

Максимум мощности приемника имеет место при равенстве активных сопротивлений приемника и источника.

Абсолютный максимум мощности приемника наблюдается при выполнении обоих условий и равен:

.

В режиме максимума потребляемой мощности работают приемники в линиях связи.

Коэффициент полезного действия передачи энергии от источника к приемнику равен отношению активных мощностей  и не зависит от величины их реактивных сопротивлений.

В режиме абсолютного максимума мощности приемника КПД составляет только 0,5. Линии электропередачи (ЛЭП) работают с КПД h = 0,90÷0,95, что соответствует соотношению активных сопротивлений приемника и источника (генератора + ЛЭП) R2/R1=10÷20.

На графической диаграмме рис. 55 показаны энергетические характеристики передачи энергии при R2= var, Х2=const: P2, h = f(R2).


11. Компенсация реактивной мощности приемников энергии

Активная мощность приемника P=UIcosj характеризует интенсивность потребления им энергии и зависит от режима его работы.

Реактивная мощность приемника Q=UIsinj  характеризует интенсивность обмена энергией между электромагнитным полем приемника и остальной цепью. Эта мощность положительна при индуктивном характере приемника () и отрицательна при емкостном характере (). В промышленных условиях преобладающее большинство приемников имеют активно-индуктивный характер () и потребляют положительную реактивную мощность. Параллельное подключение к таким приемникам конденсаторов, потребляющих отрицательную реактивную мощность  и, таким образом, являющихся генераторами реактивной мощности для приемников, позволяет уменьшить (компенсировать) суммарную реактивную мощность: .

Компенсация реактивной мощности позволяет при неизменной активной мощности уменьшить потребляемый от сети ток:

.

Схема цепи в режиме компенсации реактивной мощности показана на рис. 56.

 

 

 

 

 

При увеличении емкости компенсирующего конденсатора С пропорционально будет увеличиваться потребляемый им ток . Ток линии, равный геометрической сумме токов нагрузки и конденсатора (), вначале будет уменьшаться (при QL>QC), достигнет своего минимального значения при полной компенсации реактивной мощности , а затем начнет возрастать при QC > QL (рис. 57).

Из геометрии рис. 57 следует соотношение:

.

Тот же ток из закона Ома:

.

Из совместного решения этих двух уравнений вытекает формула для расчeта емкости компенсирующего устройства от первоначального значения tgj2 до заданного tg:

  [мкФ].

Сопротивление воздушных ЛЭП носит активно-индуктивный характер с существенным преобладанием реактивного сопротивления (XЛ >> RЛ), поэтому падение напряжения в линии UЛ = I(RЛ+jXЛ) почти на 90˚ опережает ток. На рис. 58 показано семейство векторных диаграмм токов и напряжений для разных значений компенсирующей емкости С=var при постоянном значении напряжения в начале линии .

Из анализа семейства векторных диаграмм рис. 58 следует, что увеличение степени компенсации реактивной мощности повышает напряжение на выводах нагрузки (U2¢¢¢> U2¢¢> U2¢), при этом потеря напряжения в линии DU = U1 – U2 уменьшается. На практике указанная функциональная зависимость U2 = f(C) используется для поддержания заданного уровня напряжения на выводах (шинах) нагрузки U2=const при изменении ее параметров.

 

Таким образом, посредством компенсации реактивной мощности нагрузки в энергосистеме решаются две важные технико-экономические задачи. Во-первых, это уменьшение потерь мощности в линии электропередачи () и повышение ее КПД вследствие уменьшения тока. Во-вторых, с помощью регулируемых компенсирующих устройств осуществляется управление напряжением в конце линии на выводах нагрузки, поддержание его на заданном номинальном уровне при изменении потребляемой мощности в широком диапазоне.

 

 

 

 


Методы расчета электрических полей постоянного тока