Электротехника. Расчет электрических цепей в задачах курсового расчетах

Пример. В схеме (рис. 13) заданы: 1=j110 B, , 5=j80 B, =3 A, X1'= X3=10 Ом, X2=40 Ом, X1"=r4=20 Ом, r6=30 Ом. Определить все токи методом узловых потенциалов и показания вольтметра.

Решение. В схеме имеется ветвь с идеальной ЭДС 5. За базисный узел принимаем, например, узел d, т. е. d=0. Тогда потенциал узла c равен величине 5 со знаком "плюс" (5 направлена к узлу с):

с=j80.

Записываем систему уравнений по методу узловых потенциалов для определения двух оставшихся неизвестных узлов a и b схемы:

 Yaaa+ Yabb+ Yacc=aa,

 Ybaa+ Ybbb+ Ybcc=bb,

где собственные проводимости узлов a и b:

взаимные проводимости узлов:

Yac=0 (так как узлы a и c не соединены непосредственно).

В выражение собственной проводимости Yaa должна войти и проводимость ветви с источником тока. Однако, так как внутреннее сопротивление идеального источника тока равно бесконечности, проводимость этой ветви (величина, обратная общему сопротивлению ветви ZJ+r6=¥+30=¥) равна нулю.

Узловые токи определяются так:

Подставив в исходные уравнения числовые значения проводимостей и узловых токов, получим систему уравнений

  0×a+(j0.1) b+0×c=-8;

 (j0.1) a+(0.05-j0.125) b–0.05×j80=0.

Решив эти уравнения, найдем потенциалы узлов a и b:

 a=j100 B, b=j80 B.

Выберем направления напряжений во всех ветвях схемы (напряжения между узлами) и определим их. Например:

 ab=a–b=j100–j80=j20,

 bc=b–c=j80–j80=0,

 ad=a–d=a–0=j100,

 bd=b–d=j80,

 ac=a–c=j100–j80=j20,

 ac= ab+bc=j20+0=j20.

Наконец, определим токи в ветвях, направление которых указано на схеме (см. рис. 13):

Ток 5 в ветви с идеальной ЭДС 5 найдем из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла d

 -1–2–5=0, откуда 5=-1–2=-(-1)-(-2)=3 А.

Для узла c

 4+5+6=0, откуда 5=-4+6=0+3=3 А.

Проверка. Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа:

для узла a 1+6–3=0, -1+3-2=0,

для узла b 3+2–4=0, 2-2+0=0.

 Показания вольтметра: V=|ac|=20 B.

Пример 6. В схеме (рис. 14) заданы: E1=E2=E3=100 B, E1 и E2 по фазе опережают E3 на 90°, r1=XL2=20 Ом, XС3=10 Ом. Определить ток I3.

 Рассмотрим на данном примере три метода расчета:

1) с предварительным эквивалентным преобразованием активных параллельных ветвей;

2) методом двух узлов;

3) методом эквивалентного генератора.

Записываем комплексные действующие значения ЭДС, принимая начальную фазу ЭДС E3 равной нулю: 3=E3ej0°=E3=100.

Тогда 1=E1ej90°=jE1=j100, 2=j100.

Комплексные сопротивления ветвей Z1=r1=20, Z2=jXL2=j20,

Z3=-jXC3=-j10.

Решение. Заменяем параллельные активные ветви с ЭДС E1 и E2 одной эквивалентной, выбрав направление EЭ (рис. 15).

Тогда

Значение тока 3 в схеме (см. рис. 15) находим из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа 3(Z3+ZЭ)= 3+Э,

откуда

Задаваясь положительным направлением напряжения между узлами схемы (см. рис. 14), например, ab, определим его по формуле метода двух узлов:

При этом значении узлового напряжения находим ток 3 из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для контура, состоящего из ветви с 3 и найденного напряжения ab:

3Z3–ab=3, откуда

Согласно методу эквивалентного генератора размыкаем ветвь с искомым током 3 и исключаем из нее пассивный элемент Z3. В полученной схеме (рис. 16) имеем левый контур, в котором протекает ток ', определяемый из уравнения '(Z1+Z2)= 1+2,

Далее, выбрав любой контур, например правый, в который входит неизвестное напряжение mn на зажимах разомкнутой ветви, составляем уравнение по второму закону Кирхгофа при указанном направлении обхода: -'Z2+mn=- 2+3.

Напряжение

mn=-2+3– 'Z2=-j100+100+(5+j5)j20=0.