Пример. В схеме (рис. 13) заданы:
1=j110 B, ,
5=j80 B,
=3 A, X1'= X3=10 Ом, X2=40 Ом, X1"=r4=20 Ом, r6=30 Ом. Определить все токи методом узловых потенциалов и показания вольтметра.
Решение. В схеме имеется ветвь с идеальной ЭДС
5. За базисный узел принимаем, например, узел d, т. е.
d=0. Тогда потенциал узла c равен величине
5 со знаком "плюс" (
5 направлена к узлу с):
с=j80.
Записываем систему уравнений по методу узловых потенциалов для определения двух оставшихся неизвестных узлов a и b схемы:Yaa
a+ Yab
b+ Yac
c=
aa,
Yba
a+ Ybb
b+ Ybc
c=
bb,
где собственные проводимости узлов a и b:
взаимные проводимости узлов:Yac=0 (так как узлы a и c не соединены непосредственно).
В выражение собственной проводимости Yaa должна войти и проводимость ветви с источником тока. Однако, так как внутреннее сопротивление идеального источника тока равно бесконечности, проводимость этой ветви (величина, обратная общему сопротивлению ветви ZJ+r6=¥+30=¥) равна нулю.
Узловые токи определяются так:Подставив в исходные уравнения числовые значения проводимостей и узловых токов, получим систему уравнений
0×
a+(j0.1)
b+0×
c=-8;
(j0.1)
a+(0.05-j0.125)
b–0.05×j80=0.
Решив эти уравнения, найдем потенциалы узлов a и b:
a=j100 B,
b=j80 B.
Выберем направления напряжений во всех ветвях схемы (напряжения между узлами) и определим их. Например:
ab=
a–
b=j100–j80=j20,
bc=
b–
c=j80–j80=0,
ad=
a–
d=
a–0=j100,
bd=
b–
d=j80,
ac=
a–
c=j100–j80=j20,
ac=
ab+
bc=j20+0=j20.
Наконец, определим токи в ветвях, направление которых указано на схеме (см. рис. 13):
Ток
5 в ветви с идеальной ЭДС
5 найдем из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для узла d
-
1–
2–
5=0, откуда
5=-
1–
2=-(-1)-(-2)=3 А.
Для узла c
4+
5+
6=0, откуда
5=-
4+
6=0+3=3 А.
Проверка. Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа:
для узла a
1+
6–
3=0, -1+3-2=0,
для узла b
3+
2–
4=0, 2-2+0=0.
Показания вольтметра: V=|
ac|=20 B.
Пример 6. В схеме (рис. 14) заданы: E1=E2=E3=100 B, E1 и E2 по фазе опережают E3 на 90°, r1=XL2=20 Ом, XС3=10 Ом. Определить ток I3.
Рассмотрим на данном примере три метода расчета:
1) с предварительным эквивалентным преобразованием активных параллельных ветвей;
2) методом двух узлов;
3) методом эквивалентного генератора.
Записываем комплексные действующие значения ЭДС, принимая начальную фазу ЭДС E3 равной нулю:
3=E3ej0°=E3=100.
Тогда
1=E1ej90°=jE1=j100,
2=j100.
Комплексные сопротивления ветвей Z1=r1=20, Z2=jXL2=j20,
Z3=-jXC3=-j10.
Решение. Заменяем параллельные активные ветви с ЭДС E1 и E2 одной эквивалентной, выбрав направление EЭ (рис. 15).
ТогдаЗначение тока
3 в схеме (см. рис. 15) находим из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа
3(Z3+ZЭ)=
3+
Э,
откудаЗадаваясь положительным направлением напряжения между узлами схемы (см. рис. 14), например,
ab, определим его по формуле метода двух узлов:
При этом значении узлового напряжения находим ток3 из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для контура, состоящего из ветви с
3 и найденного напряжения
ab:
3Z3–
ab=
3, откуда
Согласно методу эквивалентного генератора размыкаем ветвь с искомым током
3 и исключаем из нее пассивный элемент Z3. В полученной схеме (рис. 16) имеем левый контур, в котором протекает ток
', определяемый из уравнения
'(Z1+Z2)=
1+
2,
Далее, выбрав любой контур, например правый, в который входит неизвестное напряжение
mn на зажимах разомкнутой ветви, составляем уравнение по второму закону Кирхгофа при указанном направлении обхода: -
'Z2+
mn=-
2+
3.
Напряжение
mn=-
2+
3–
'Z2=-j100+100+(5+j5)j20=0.
Определить все токи методом узловых потенциалов и показания вольтметра |