Начертательная геометрия и машиностроительное черчение

МНОГОГРАННЫЕ И КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ.

ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ И РАЗВЕРТКА ИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Общие сведения о многогранниках

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Стороны многоугольников называются ребрами, а заключенные между ними плоские многоугольники — гранями. Вершины граней являются вершинами многогранника.

Многогранники подразделяются на правильные (например, тетраэдр, куб) и неправильные (например, наклонные призма и пирамида). У правильного многогранника все грани, ребра и углы соответственно равны между собой.

Из многогранных поверхностей рассмотрим только пирамидальные и призматические.

Пирамидальную поверхность (рис. 72) можно рассматривать как поверхность, полученную перемещением прямой SA, называемой образующей, по направляющей ломаной MN, если эта образующая во всех своих положениях проходит через одну точку S. Если образующая АВ во время движения по ломаной MN остается параллельной сама себе, то получается призматическая поверхность (рис.72). При пересечении замкнутой пирамидальной поверхности плоскостью, не проходящей через вершину S, получается многогранник, называемый пирамидой. Многоугольник, полученный в секущей плоскости, называется основанием пирамиды. Боковые грани пирамиды представляют собой треугольники. Пирамиду называют правильной, если основанием являяется правильный многоугольник, а ее высота проходит через центр этого многоугольника.

При пересечении замкнутой призматической поверхности двумя взаимно параллельными плоскостями получается многогранник, называемый призмой. Многоугольники, получаемые в секущих плоскостях, – основания призмы. Боковые грани призмы представляют собой параллелограммы. Призма прямая, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Прямая призма, основанием которой является прямоугольник, называется параллелепипедом. Прямая призма правильная, если ее основание – правильный многоугольник.

Общее название призмы и пирамиды определяется формой их основания, например треугольная пирамида (рис. 73) или треугольная призма (рис. 74).

 


2. Построение проекций призмы и ее развертка

На чертеже построение проекций многогранника сводится к построению проекций его вершин и соединению их отрезками прямых (рис.73). Поскольку плоскости (грани) принято считать непрозрачными, то проекции некоторых ребер и граней будут невидимыми. Невидимые ребра определяют при помощи конкурирующих точек и показывают штриховыми линиями. Очерк многогранника всегда будет видимым.

Недостающие проекции точки, лежащей на поверхности многогранника, строят следующим образом:

1) через заданную проекцию точки проводят проекцию произвольной прямой, принадлежащей соответствующей грани;

2) находят вторую проекцию этой прямой;

3) с помощью линии связи находят недостающую проекцию точки на найденной проекции прямой.

На рис. 73 показано построение горизонтальной проекции k точки К, лежащей на грани SAB, по заданной фронтальной проекции k'.

Призма и ее развертка. На рис. 74 показаны чертеж, аксонометрическая проекция призмы и развертка ее поверхности. По чертежу нетрудно установить форму и положение призмы. Призма треугольная, правильная, ее боковые ребра (и грани) перпендикулярны к плоскости Н, а основания – равносторонние треугольники, расположенные в горизонтальных плоскостях.

 


Задняя грань призмы параллельна плоскости V и проецируется на нее в истинную величину – в прямоугольник. Основания проецируются на плоскость Н в истинную величину – в треугольник abc. Стороны этого треугольника одновременно являются горизонтальными проекциями боковых граней.

Построение аксонометрической проекции призмы начинают с нанесения на чертеже (рис.74 а) осей прямоугольных координат, к которым относят призму. Затем строят аксонометрические оси и аксонометрическую проекцию нижнего основания по координатам вершин с учетом коэффициентов искажения (рис. 74 б). Из вершин фигуры основания проводят прямые параллельно оси оz и откладывают на них высоту призмы, определив ее по фронтальной проекции, получают аксонометрические проекции ребер. Соединяя найденные точки отрезками прямых, завершают построение призмы в аксонометрической проекции. На рис. 74, б построена фронтальная косоугольная диметрическая проекция призмы.

Разверткой поверхности многогранника называется плоская фигура, получающаяся в результате совмещения с плоскостью всех его граней. Чертежи разверток необходимы при изготовлении моделей и изделий из листового материала.

Построение развертки поверхности многогранника сводится к построению изображений граней в истинную величину. Это легко осуществить путем определения длины ребер многогранника, а в случае необходимости и длины диагоналей граней. Полная развертка поверхности призмы состоит из развертки ее боковой поверхности и оснований. Боковые грани прямой треугольной призмы – прямоугольники, поэтому развертка ее боковой поверхности представляет собой прямоугольник, длина которого равна периметру основания, а высота – высоте призмы (рис. 74 в) к развертке боковой поверхности пристраивают основания призмы – равносторонние треугольники.

На поверхности призмы построены две точки: точка К на переднем ребре и точка М на левой грани. Соответствующие им точки Ко и М0 нанесены и на развертку. Точку Ко строят по высоте h, а точку М0 определяют с помощью высоты h1 и расстояния l от одной из вертикальных сторон (ребер) грани, взятого с горизонтальной проекции.

Соединения деталей машин