Аксонометрические проекции Позиционные задачи Метрические задачи Перпендикулярность плоскостей Построить три проекции призмы Построить проекции пирамидальной поверхности Построить проекции конуса вращения

Машиностроительное черчение и инженерная графика

Способ концентрических сфер.

СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР.

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ.

Рассмотрим построение линии пересечения двух поверхностей, когда в качестве поверхности-посредника используется сфера. При этом возможны два случая применения сфер:

вспомогательные сферы могут быть проведены из одного общего для всех сфер центра. В этом случае говорят о способе концентрических сфер,

вспомогательные сферы проводятся из разных центров. Этот способ называют способом эксцентрических сфер. Машинная графика Одно из замечательных достижений человеческого гения в последние десятилетия -быстрое развитие электроники и вычислительной техники. Начертательная геометрия

Способ концентрических сфер

Предварительно скажем несколько слов о пересечении соосных поверхностей, т.е. поверхностей, имеющих общую ось вращения.

Пусть заданы две образующие линии (два главных меридиана) -прямая l и дуга окружности m (рисунок 12-1). При вращении их вокруг оси i будут описаны соответственно цилиндрическая и торовая поверхности. Каждая точка заданных линий при вращении вокруг оси i описывает в пространстве окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения.

Полученные поверхности пересекаются, причем линий пересечения будет столько, сколько точек пересечения имеют сами образующие линии (меридианы). Поскольку в нашем случае они пересекаются в двух точках, будет и две линии пересечения поверхностей, которые представляют собой окружности (параллели).

В частном случае одной из соосных поверхностей может быть сфера, если центр дуги окружности m находится на оси вращения i.

Таким образом, если центр сферы находится на оси некоторой поверхности вращения, то эта поверхность пересекается со сферой по окружностям. Это свойство и положено в основу способа вспомогательных сфер.

Способ концентрических сфер следует применять в случаях, когда соблюдаются следующие три условия:

пересекаются поверхности вращения или поверхности, содержащие семейства окружностей, по которым их могут пересекать концентрические сферы;

оси поверхностей вращения пересекаются;

поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций. Если же она не параллельна ни одной из плоскостей проекций, то необходимо произвести преобразование чертежа для достижения необходимых условий решения.

Пример 1. Построить линию пересечения конуса вращения с цилиндром вращения (рисунок 12-2).

Сначала определим некоторые опорные точки. Так как поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций, то пересечение их контурных образующих в точках А и В определяет высшую и низшую точки линии пересечения.

Центр сфер 0 выбирают в месте пересечения осей цилиндра и конуса, т.к. только в этом случае сферы будут соосны с обеими поверхностями.

Определим радиус минимальной Rmin и максимальной Rmax сфер, которые будем использовать при решении задачи. Rmax определяется расстоянием от точки 0 до самой удаленной опорной точки.

Для определения Rmin необходимо из центра 0 опустить перпендикуляры на очерковые образующие поверхностей из центра 0 опустить перпендикуляры на очерковые образующие поверхностей. Больший из них принимается в качестве Rmin, т.к. сфера такого радиуса будет касаться одной и пересекать вторую поверхность, что дает возможность найти общие для обеих поверхностей точки - точки линии пересечения. При радиусе сферы меньшем Rmin она не будет иметь общих точек с одной из поверхностей; построения теряют смысл.

Для построения случайных точек проводим сферы радиуса Rmin<R<Rmax,,находим линии пересечения их с конусом h и цилиндром m. Так как эти линии принадлежат поверхности одной сферы, то при пересечении они дают две точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей. Повторяя эти построения несколько раз (с разными радиусами сферы), можно найти необходимое количество точек, чтобы провести линию пересечения.

Для построения точек линии пересечения на виде сверху можно воспользоваться параллелями конуса. Полученные точки соединяем плавной линией и определяем ее видимость.

Какие многогранники изображены на рисунке 29? Построить профильную проекцию заданных, на рисунке 29 многогранников, и определить недостающие проекции точек 1, 2, 3, 4 принадлежащих им.

Рисунок 29

41*. Какие геометрические фигуры изображены на рисунке 30? Построить недостающие проекции точек 1, 2, 3 принадлежащих поверхности многогранников.

Рисунок 30

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Для построения линии пересечения таких поверхностей (ломаной линии) необходимо найти точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго, а затем наоборот - ребер второго с гранями первого, т.е. нужно многократно решить задачу на пересечение прямой с плоскостью. Полученные точки будут являться вершинами ломаной линии.

Пример Построить линию пересечения конуса вращения со сферой Плоскостью симметрии данных поверхностей является фронтальная плоскость, поэтому можно применить способ вспомогательных сфер.

Пересечение кривых поверхностей Задача второго типа - одна из поверхностей имеет вырожденный вид


Построение проекций винтовых поверхностей