Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Справочный материал и примеры  к выполнению контрольной работы по математике

Вычисление длины дуги кривой.

Пример 15. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат.

Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y .

Построим график и найдем точки пересечения с осями координат:

Длина дуги вычисляется по формуле .

Для данной задачи .

Подставляя все эти значения в формулу, получаем :

Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле

Пример 16. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле .

Решение. Вычисление этого интеграла производится повторным интегрированием: сначала вычисляется интеграл , а затем поолучившаяся функция интегрируется по переменной х на отрезке [1;3].

Для изменения порядка интегрирования необходимо сначала начертить область интегрирования D, которая ограничена линиями х=1, х=3, y=-x, y= -x. Уравнения линий берутся в соответствии с пределами интегрирования. На рисунке область D – это трапеция ABFK. Координаты точек A,B,F,K находим, решая соответствующие системы уравнений. Таким образом получили A(1;1), B(3;3), F(3,-3), K(1;-1).

При изменении порядка интегрирования первое интегрирование теперь проводится по переменной y, а второе -–по переменной x. В этом случае при задании области D переменная y изменяется от –3 до 3, а переменная x от линии FKAB до линии FB. Если прямая FB задается одним уравнением х=3, то ломаная FKAB – тремя: х=1, y=-x, y= -x. Таким образом, область интегрирования D имеет смысл представить как объединение трех областей, каждая из которых задается своей системой неравенств:

FKE: 

KACE: 

ACB: .

Нашли, что исходный двойной интеграл после замены порядка интегрирования записывается в виде суммы трех двойных интегралов:

  +  +