Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Справочный материал и примеры  к выполнению контрольной работы по математике

Матричные уравнения

 Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу. Простейшие матричные уравнения имеют вид

, (1.24)

,  (1.25)

, (1.26)

где  – известные матрицы, а  – неизвестные матрицы соответствующих размеров. В общем случае уравнения (1.24)-(1.26) эквивалентны некоторым системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), но в том частном случае, когда матрицы   и  обратимы, теория этих уравнений проста. Прежде чем изложить её отметим, что числовая матрица  является решением уравнения (1.24), если при подстановке её в это уравнение вместо матрицы  мы получаем верное матричное равенство (и аналогично для уравнений (1.25) и (1.26)).

  Предложение 1.8. Пусть матрицы  и  обратимы, тогда уравнения (1.24)-(1.26) разрешимы при любых правых частях  соответственно, а их единственные решения определяются по формулам

, ()

,  ()

, ()

  ◄ Так как уравнения (1.25) и (1.26) являются частными случаями уравнения (1.24) ( в первом случае и  во втором случае), доказательство проведём лишь для уравнения (1.24). (Рассуждения в случае уравнений (1.25) и (1.26) предлагаем читателю провести самостоятельно.)

 Пусть ,, тогда по необходимости матрицы  и  имеют размер . Так как ,, то для любой матрицы  из  существует матрица  вида (). Подставляя её в уравнение (1.24), получаем

,

т.е. матрица вида () является решением уравнения (1.24). Тем самым показано, что решение уравнения (1.24) существует.

 Осталось показать его единственность. В самом деле, пусть  некоторое решение уравнения (1.24), тогда справедливо матричное равенство

.

Умножая обе части слева на матрицу , а справа на матрицу , получаем, что

или

.

т.е.  имеет вид (). ►

 Два матричных уравнения будем называть равносильными, если они имеют одинаковые решения. В частности, если у одного из равносильных уравнений решений нет, то их нет и у второго уравнения. В последнем случае мы предполагаем, что неизвестные матрицы, входящие в оба уравнения, имеют одинаковые размеры.

 Предложение 1.9. Пусть  и . Тогда уравнения

,  (1.27)

 (1.28)

равносильны для любых матриц  из .

 ◄ Действительно, если  – решение уравнения (1.27), тогда . Умножая обе части этого равенства слева на матрицу , получаем, что.

  или ,

т.е.  является решением уравнения (1.28). Наоборот, если   – решение уравнения (1.28), тогда

.

Но матрица  обратима. Умножая обе части последнего равенства слева на матрицу , получаем, что

,

т.е.  – решение уравнения (1.27). Если же у одного из уравнений (1.27) или (1.28) решений нет, тогда их нет и у второго уравнения, так как в противном случае, повторяя проведённые выше рассуждения, приходим к противоречию. ►

Упражнения

  1. Выяснить, какие из следующих матриц равны

.

  2. Написать матрицу, транспонированную данным:

.

  3. Если матрица  имеет вид

,

то каков вид матрицы ?

 4. Матрицы  и  имеют вид:

а)  б) .

Каковы размеры матрицы , если известно, что ?

 5. Даны матрицы  и . Найти матрицы .

 а) ; б) ;

в) .

 6. Найти произведение матриц , если:

 а) ; б);

 в) ; г)

 д) ; е) ;

 

 ж) ;

 з) ;

 

 и) ; к) ;

л) ; м) .

При вычислении сложных матричных выражений целесообразно продумать порядок действий, так как от этого зависит объём вычислений.