Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Справочный материал и примеры  к выполнению контрольной работы по математике

Устойчивость и полная реакция орграфа

Особенностью рассматриваемых нами систем, управляемых человеком, является их стабильность (устойчивость). При этом значения вершин должны стремиться к какому-то конечному пределу при увеличении числа шагов. Этот предел и показывает полную реакцию системы на одноразовый начальный импульс: . Можно считать, что эта реакция осуществляется за некоторый заданный период времени (например, за год или за 5 лет – в зависимости от рассматриваемой системы).

Рассмотрим воздействие на систему одноразовыми единичными начальными импульсами, направленными на каждую из вершин:

.

Этим импульсам, согласно формуле (5), соответствуют вектора реакций на k-м шаге: Основные понятия и определения: определение числового ряда, n-ой частичной суммы, сходящегося и расходящегося ряда.

 .

Нетрудно убедиться, кстати, что строки матрицы B(k) представляют собой реакции di(k).

Результат единичного воздействия произвольным начальным импульсом   равен линейной комбинации результатов воздействия единичными начальными импульсами:  ; соответственно, для полной реакции: . Поэтому для исследования поведения системы не нужно применять различные произвольные начальные импульсы, достаточно найти реакции системы на единичные импульсы в отдельные вершины.

Технически за полную реакцию системы можно принять реакцию на k-м шаге, если k достаточно велико, чтобы значения реакций стабилизировались с необходимой для целей исследования точностью (например, три знака после запятой). При этом все элементы матрицы Ak должны стать равны нулю также в трех знаках после запятой.

Если стабилизации не происходит, значит, неверно определены весовые коэффициенты связей.

Многокритериальная оценка

Итак, полученные строки di характеризуют состояние системы в результате применения того или иного воздействия на нее. Возникает вопрос: можно ли сравнить эти состояния, выбрать из них лучшее, а соответственно, выбрать лучший вариант начального воздействия?

Если сравнивать альтернативные полные реакции системы (альтернативы) di по какому-то одному из факторов, то, конечно, их легко можно ранжировать от лучшего к худшему. Так например, при оценке состояния региона по фактору заболеваемости (число заболеваний населения по отношению к общей численности населения в год), то чем меньше значение этого фактора, тем лучше признается альтернатива. Если сравнивать альтернативы по фактору средней заработной платы, то чем больше значение фактора, тем лучше и т.д.

Но нам требуется при сравнении альтернатив учитывать все факторы в совокупности, причем, как правило, альтернативы, которая была бы лучшей по всем факторам сразу, не бывает. Таким образом, перед нами стоит задача многокритериальной оценки и сравнения альтернатив. Существуют различные методы решения этой задачи, применимые в различных областях. Мы не будем подробно на них останавливаться, рассмотрим только так называемый метод парных сравнений, который достаточно широко применяется в теории принятия решений

Метод парных сравнений альтернатив.

Построим для каждого фактора m матрицу парных сравнений  по следующему правилу:

, если альтернатива i лучше альтернативы j при сравнении по фактору m и  в противном случае. (Заметим, что при этом надо строго следить за тем, требуется для фактора увеличение или уменьшение значения!)

Затем сложим все полученные матрицы в результирующую матрицу парных сравнений .

Оценкой альтернативы di назовем сумму элементов матрицы S в i-й строке: .

Таким образом, все альтернативы можно проранжировать согласно полученным оценкам: чем выше оценка, тем лучше альтернатива.

Этот метод достаточно прост и может применяться при принятии решений (не только при анализе поведения орграфов), если достаточно провести качественное сравнение альтернативных вариантов по каждому фактору. Однако мы имеем больше информации для сравнения: все альтернативы у нас выражены численно, так что хотелось бы провести не только качественное, но и количественное сравнение альтернатив по каждому фактору: не просто «лучше», а «насколько лучше».