—правочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике —правочный материал и примеры  к выполнению контрольной работы по математике

–ешение примерного варианта контрольной работы є1

«адача 1.†ƒана функци€ z = cos2(2x Ц y). “ребуетс€:

1) найти частные производные †и ;

2) найти полный дифференциал†dz;

3) показать, что дл€ данной функции справедливо равенство: .

–ешение.

1) ѕри нахождении †считаем аргумент y посто€нным:

= (cos2(2x Ц y)) = 2cos(2x Ц y)(cos(2x Ц y)) =

= 2cos(2x Ц y)(Цsin(2x Ц y))(2x Ц y) = Ц2cos(2x Ц y)sin(2x Ц y)((2x) Ц (y)) =

= Ц 2cos(2x Ц y)sin(2x Ц y)(2 Ц 0) = Цsin(2(2x Ц y))2 = Ц2sin(4x Ц 2y).

ѕри нахождении †считаем аргумент x посто€нным:

† = (cos2(2x Ц y)) = 2cos(2x Ц y)(cos(2x Ц y)) =

= 2cos(2x Ц y)(Цsin(2x Ц y))(2x Ц y) = Ц2cos(2x Ц y)sin(2x Ц y)((2x) Ц (y)) =

= Ц sin(2(2x Ц y))(0 Ц 1) = sin(4x Ц 2y).

2) ѕо формуле (1) находим полный дифференциал функции:

dz = †= Ц2sin(4x Ц 2y)dx + sin(4x Ц 2y)dy.

3) Ќайдем смешанные частные производные второго пор€дка.

ƒл€ того, чтобы найти , дифференцируем †по у:

† = †= (Ц2sin(4x Ц 2y)) = [считаем x посто€нным] =

= Ц 2cos(4x Ц 2y)(4x Ц 2y) = Ц 2cos(4x Ц 2y)(0 Ц 2) = 4cos(4x Ц 2y).

ƒл€ того, чтобы найти , дифференцируем †по x:

† = †= (sin(4x Ц 2y)) = [считаем†y посто€нным] =

= cos(4x Ц 2y)(4x Ц 2y) = cos(4x Ц 2y)(4 Ц 0) = 4cos(4x Ц 2y).

ѕолучили: †= 4cos(4x Ц 2y), †= 4cos(4x Ц 2y) .

ќтветы: 1) = Ц2sin(4x Ц 2y); †= sin(4x Ц 2y);

2) dz = Ц2sin(4x Ц 2y)dx + sin(4x Ц 2y)dy;

3) равенство †выполнено.