Контрольная работа по математике. Второй семестр

Примеры решения и офрмления задач контрольной работы

Неопределенный интеграл

Пример . Найти интеграл . Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям: .

Найти интеграл .

Определенный интеграл Вычисление определенного интеграла

Приложения определенного интеграла Площадь плоской криволинейной трапеции. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Вычисление длины дуги кривой. Пример. Вычислить длину дуги кривой: , между точками пересечения с осями координат. Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде, то есть x и y зависят от параметра t. Поэтому, чтобы построить точку с координатами (x,y) нужно задать некоторое значение параметра и потом посчитать x и y .

Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах

Вычислить тройной интеграл , где

Вычислить тройной интеграл , где

С помощью тройного интеграла наряду с другими величинами можно вычислить

Применение тройных интегралов. Масса неоднородного тела

Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.

Цилиндрические координаты

Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим

Объём цилиндрического тела. Двойной интеграл. Пусть в некоторой замкнутой области D плоскости хОу определена ограниченная функция z = f(x,у), причём f(x,y)>0. К определению двойного интеграла приходим, вычисляя объём фигуры, основание которой - область D; сверху фигура ограничена поверхностью, уравнение которой z=f(x,y) боковая поверхность - цилиндрическая, образованная прохождением прямой, параллельной оси Oz вдоль границы L области D.

Вычисление двойного интегралав декартовых координатах

Двойной интеграл в полярных координатах

Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга.

Криволинейный интеграл первого рода Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода

Криволинейный интеграл второго рода Пусть по кривой MN, расположенной в плоскости хОу, движется материальная точка Р (х, у ), к которой приложена сила F , изменяющаяся по величине и направлению при перемещении точки.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования

Поверхностный интеграл первого рода Пусть f(x,y,z) - функция, непрерывная на гладкой поверхности S. (Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности).

Поверхностный интеграл второго рода К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность S.

Изобразить на плоскости фигуру D. Вычислить массу пластины О с поверхностной плотностью распределения μ=μ(х, у). Рекомендуется использовать полярную систему координат.

С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченную заданными линиями.

Функция нескольких переменных и ее частные производные Определение функции нескольких переменных Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных x и y из некоторого множества D соответствует определённое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных  x и y, определённая на множестве D. Множество D называется областью определения функции z = z (x, y).

Полное приращение и полный дифференциал ФНП

Частные производные ФНП, заданной неявно

Экстремумы ФНП Локальные максимумы и минимумы ФНП Говорят, что функция z = f (x, y) имеет локальный максимум в точке (x0, y0), если существует окрестность точки (x0, y0), в которой выполнено неравенство f (x0, y0) > f (x, y) для всех точек (x, y) из этой окрестности, отличных от (x0, y0): .

Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению

Функции комплексной переменной Определение и свойства функции комплексной переменной Пусть даны две плоскости комплексных чисел и на первой – множество D комплексных чисел z = x + iy, где i – мнимая единица (i2 = –1), на второй – множество G комплексных чисел w = u +iv.

Пример Проверить аналитичность ФКП .