Подготовка к выполнению контрольной по математике. Примеры решения задач

Атомная энергетика
Основы ядерной физики
Обзор аварийных ситуаций
Утилизация радиоактивных отходов
Математика. Примеры решений
Подготовка к выполнению контрольной
Курсовая работа
Первый семестр
Второй семестр
Третий семестр
Машиностроение
Основные принципы проектирования
Начертательная геометрия
Построение лекальных кривых
Сборочный чертеж
Машиностроительное черчение
Основные свойства параллельного
проецирования
Лабораторные работы Компас
Условия видимости на комплексном
чертеже
Аксонометрические проекции
Позиционные задачи
Взаимное положение точки и плоскости
Взаимное положение двух плоскостей
Способ концентрических сфер
Метрические задачи
Перпендикулярность плоскостей
Построить три проекции призмы
Построить проекции пирамидальной
поверхности
Построить проекции конуса вращения
Построить проекции поверхности
гиперболоида вращения
Построить проекции конуса вращения
общего вида
Построение проекций поверхностей
вращения

Построение проекций винтовых
поверхностей

Виды аксонометpических пpоекций

Hеподвижные pазьемные соединения
Искусство
Готическое искусство
Романское искусство
Техника темперной и масляной живописи
Теория электрических цепей. Физика
Контрольная по физике
Примеры решения задач по физике
Лабораторные работы по физике
Задачи контрольной
Закон Ома для участка цепи,
не содержащего ЭДС
Второй закон Кирхгофа
Основы символического (комплексного)
метода расчета цепей синусоидального тока
Резонанс напряжений
Резонанс токов
Коэффициент мощности
Методы расчета сложных цепей
Метод контурных токов
Метод узловых потенциалов
Метод двух узлов
Принцип наложения, метод наложения
Метод эквивалентного генератора
Трехфазные цепи
Соединение «звезда-звезда»
Мощность трехфазных цепей
Метод симметричных составляющих
Расчет цепей при наличии взаимной
индуктивности
"Развязывание" магнитосвязанных цепей
Воздушный трансформатор
Амплитудное, среднее и действующее
значения
Высшие гармоники в трехфазных цепях
Высшие гармоники при соединении фаз
источника и приемника звездой
Информатика
Учебное пособие по экоинформатике
Компьютерная графика

Во многих вопросах геометрии, естествознания и т.д. приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных. Пример. Решая уравнение сферы  относительно  при , получим , то есть - функция двух переменных. Определена эта функция в круге

Линии и поверхности уровня В некоторых случаях можно получить наглядное геометрическое представление о характере изменения функции, рассматривая ее линии уровня (или поверхности уровня ), то есть линии (поверхности), где данная функция сохраняет постоянное значение

 Примеры. Исследовать непрерывность функции . Решение. Найдем полное приращение функции 

Частные производные функции нескольких переменных Найти частные производные функций: .

Рассмотрим электрическое поле точечного заряда , помещенного в начале координат:

  Подобно тому, как дифференциал функции одной переменной является приращением ординаты касательной, полный дифференциал функции двух переменных есть приращение аппликаты касательной плоскости.

Пример. Вычислить частные производные функции 

Пример. Найти частные производные второго порядка функции

Пример. Разложить функцию по формуле Тейлора с центром разложения в точке  до членов второго порядка включительно.

Пример. Найти локальные экстремумы функции  в области

Пример. Найти точки локального экстремума функции .

Методом Лагранжа найти экстремум функции  при условиях связи

Наибольшее и наименьшее значение функции Если функция  дифференцируема в ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в граничной точке области.

 

Криволинейные интегралы Интегралы, которые мы рассматривали до сих пор, имели своими областями либо отрезки на прямой, либо некоторые области на плоскости и в пространстве.

Задача о массе кривой Рассмотрим физическую задачу, которая приводит к понятию криволинейного интеграла I типа.

Криволинейные интегралы II типа Задача о работе плоского силового поля

Существование и вычисление криволинейных интегралов II типа

Формула Грина-Остроградского связывает двойной интеграл по области (P) с криволинейным интегралом по границе (L) этой области.

Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования Пример. Вычислить   вдоль кривой: 1) y=x, 2) y=x2, 3) y=x3.

Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются aij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

Пример. Вычислить определитель матрицы А =

Определить ранг матрицы

Решение произвольных систем линейных уравнений Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Система координат Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат.

Пример. Найти скалярное произведение векторов  и ,

Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам коллинеарным плоскости Пусть заданы два вектора  и , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы  должны быть компланарны.

Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Линейное (векторное) пространство Как известно, линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число) определены по-своему для каждого множества (числа, многочлены, направленные отрезки, матрицы). Сами операции различны, но их свойства одинаковы.

Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор  и линейное преобразование В, переводящее вектор  в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор  в вектор .

 

Пример. Найти предел

Комплексные числа Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица

Даны два комплексных числа . Требуется а) найти значение выражения в алгебраической форме, б) для числа  найти тригонометрическую форму, найти z20, найти корни уравнения

Найти производную функции .

Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функций

Асимптоты При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график. Находим область существования функции.

Пример. Составить уравнения касательной и нормальной плоскости к линии, заданной уравнением   в точке t = p/2.

Исследовать функцию  и построить ее график.

Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1, 1, 1).

Производная по направлению Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Движение в вязкой среде. Пусть частица постоянной массы падает под действием силы тяжести, причем сила сопротивления Fr, действующая на частицу со стороны внешней среды, пропорциональна скорости и противоположна ей по направлению

Основные понятия теории дифференциальных уравнений Дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором неизвестной является функция одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят производные этой функции.

Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называют уравнение

Неопределенный и определенный интегралы

Метод подведения под знак дифференциала Если подынтегральное выражение содержит некоторую функцию и ее производную, то в этом случае используют метод подведения под знак дифференциала

Пример. Найти интеграл

Найти интеграл . Решение. Применим указанный прием: выделим в числителе производную квадратного трехчлена  и преобразуем числитель:

Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших

Найти интеграл . Решение. Рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, неправильная, так как степень многочлена в числителе больше степени многочлена в знаменателе.

Интегрирование иррациональных функций

Геометрический смысл определенного интеграла Формула Ньютона–Лейбница

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода)

Пример. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Приложения определенного интеграла Вычисление площади плоской фигуры

Площадь криволинейного сектора Область, ограниченная непрерывной линией  и двумя лучами  и , где  и  – полярные координаты, называется криволинейным сектором

Пример. Найти длину дуги кривой , заключенной между лучами  и .

Задача 5. Вычислить . Решение. Выполним замену переменной

Вычислить Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей.

Исследовать на сходимость ряд  

Найти коэффициенты  разложения в ряд Фурье по синусам функции .

Понятие о математическом моделировании Ранее уже было отмечено, что реальность слишком сложна для того, быть предметом исследования в науке. Исследованию доступны лишь модели – умозрительные конструкции, которые должны отражать существенные свойства реального объекта. Замену исходного объекта его идеализированным образом – моделью – и последующее исследование модели называют моделированием. Если модель формулируется в терминах математики, то моделирование называют математическим. Оно сочетает в себе достоинства так экспериментальных, как теоретических методов

Динамика популяции. Часто при построении модели явления либо невозможно указать фундаментальные законы, которым это явление подчиняется, либо вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку. В таких случаях используют аналогии с уже известными явлениями.