Математика. Примеры решения задач курсовой работы Математика. Примеры решения задач курсовой работы

Схема исследования графика функции

Приведем схему исследования поведения функции и построения ее графика.

1. Найти область определения функции.

2. Определить возможный тип симметрии функции: четность или нечетность функции. Функция f(x) называется четной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно оси Оу:

Функция f(x) называется нечетной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно начала координат O (0, 0):

Примеры решения типовых задач Производная по направлению Курс практики по математике

При наличии симметрии достаточно построить график функции на правой координатной полуплоскости и затем отобразить его на левую половину: зеркально относительно оси Оу в случае (5.10) (рис. 5.8,а) или с центральной симметрией в случае (5.11) (рис. 5.8,6).

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат Ох и Оу, т.е. решить соответственно уравнения у = f(0) и f(x) = 0.

4. Найти асимптоты.

5. Найти точки возможного экстремума.

6. Найти критические точки.

7. Исследовать знаки первой и второй производных, определить участки монотонности функции, направление выпуклости графика, точки экстремума и перегиба.

8. Определить максимум и минимум функции на области ее определения. Если областью определения функции является отрезок [а, b], необходимо вычислить значения функции в его концах и сопоставить их с локальными экстремумами.

9. Построить график функции с учетом проведенного исследования.

Пример 7. Исследовать и построить график функции

Решение. Действуем по приведенной выше схеме.

1. Область определения функции: х ≠ 0 или х  (-, 0)  (0, ).

2. Функция (5.12) является нечетной, так как f(-x) = - f(x).

3. Уравнение f(x) = 0 дает корни х = ±1 (точки пересечения с осью Ох). Пересечения с осью Оу нет в силу п.1.

4. Имеется вертикальная асимптота — ось Оу, так как предел f(x) при х  0 бесконечен: f(x)  + при х  0-, f(x)  - при х  0+.

Определяем наклонную асимптоту:

Итак, уравнение наклонной асимптоты: у = х.

5. f'(x) = , т.е. производная нигде не равна нулю и точек возможного экстремума нет. В области определения везде f'(x) положительна.

6. f"(x) = —2/х3 — критических точек нет.

7. Функция (5.12) монотонно возрастает на всей области своего определения, так как ее производная всюду положительна. В левой координатной полуплоскости выпуклость графика функции направлена вниз (f"(x) > 0), в правой полуплоскости выпуклость направлена вверх (f"(x) < 0).

8. Наибольшего и наименьшего значений функции не существует, поскольку область ее значений неограничена.

9. График функции (5.12) приведен на рис. 5.9.